홍라이프 계산기선형 보간 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 알고 있는 두 점 사이에 직선이 있다고 보고 그 사이의 값을 추정합니다. 보간한 y, 기울기, 두 점 사이의 위치, 보간인지 외삽인지를 알려 줍니다. 표의 행 사이 값을 읽거나, 측정값의 빈 곳을 메우거나, 눈금 사이 값을 추정할 때 쓸 수 있습니다.
계산 방법
y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁)로 쓰면: y = (1 − t)·y₁ + t·y₂
- t가 0과 1 사이면 보간, 그 밖이면 외삽입니다.
- 기울기 = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
원리
짧은 구간에서는 매끄럽게 변하는 많은 양이 거의 직선처럼 변합니다. 지도에서 두 등고선 사이 높이를 어림하는 것도 같은 생각입니다. 선형 보간은 그 직선을 이용합니다. x₁에서 x₂까지 간 비율만큼 y₁에서 y₂까지 갑니다. 오차는 실제 함수가 휜 정도와 구간 폭의 제곱에 따라 커지므로, 촘촘한 표일수록 보간이 정확합니다.
예제 풀이
기본값: (10, 50)과 (20, 80), x = 14를 찾기.
- 기울기 = (80 − 50) ÷ (20 − 10) = 3입니다.
- 위치 t = (14 − 10) ÷ (20 − 10) = 0.4이며, 두 점 사이 — 보간입니다.
- y = 50 + (14 − 10) × (80 − 50) ÷ (20 − 10) = 50 + 4 × 3 = 62입니다.
| 구할 x값 | 보간한 y값 |
|---|---|
| 3.5 | 30.5 |
| 7 | 41 |
| 10.5 | 51.5 |
| 14 | 62 |
| 17.5 | 72.5 |
| 21 | 83 |
| 28 | 104 |
결과 해석
x = 14는 10에서 20까지의 40% 지점이므로 y도 50에서 80까지의 40% 지점입니다. 두 점 사이에서 자료가 휘어 있다면 실제 값은 62보다 크거나 작을 수 있으며, 많이 휜 자료라면 점을 더 쓰거나 고차 방법을 쓰십시오. 두 점 바깥으로 외삽한 값은 훨씬 믿기 어렵습니다. 온도별 물성표나 환율표처럼 일정 간격으로 정리된 표를 읽을 때 가장 자주 쓰는 방법입니다.
흔한 실수
- 공식에서 x값과 y값을 바꾸는 경우
- 휜 관계에서 멀리 떨어진 두 점을 쓰는 경우
- 알려진 범위를 훨씬 넘어 외삽하는 경우
- 세율 구간이나 상변화처럼 값이 갑자기 바뀌는 곳을 넘어 보간하는 경우
- x₁과 x₂가 같은 두 점을 넣는 경우(기울기를 정의할 수 없습니다)
자주 묻는 질문
선형 보간 공식은?
y = y₁ + (x − x₁)(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)입니다.
보간과 외삽의 차이는?
보간은 알려진 범위 안을, 외삽은 그 밖을 추정합니다.
선형 보간은 얼마나 정확한가요?
직선이면 정확하고, 곡선이면 휜 정도와 구간 폭에 따라 오차가 커집니다.
x를 알고 싶을 때도 쓸 수 있나요?
네, x와 y의 역할을 바꿔 넣으면 주어진 y에 해당하는 x를 같은 방식으로 구할 수 있습니다.
두 축 방향으로 동시에 보간하려면?
표의 행과 열 사이를 함께 읽어야 한다면 쌍선형 보간 계산기를 쓰십시오.
출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §3.3(ii) Linear Interpolation