홍라이프 계산기로그정규분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 ln X가 평균 μ, 표준편차 σ인 정규분포를 따르는 로그정규분포의 확률과 요약 통계량을 구합니다. P(X ≤ x), P(X > x), 확률밀도, 평균, 중앙값, 최빈값, 분산, 표준편차, ln x의 z점수를 알려 줍니다. 소득, 입자 크기, 수리 시간, 주가처럼 양수이고 오른쪽으로 치우친 양에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
P(X ≤ x) = Φ((ln x − μ) ÷ σ)
확률밀도 f(x) = exp(−(ln x − μ)² ÷ (2σ²)) ÷ (xσ√(2π)), x > 0
중앙값 = e^μ, 평균 = e^(μ + σ²/2), 최빈값 = e^(μ − σ²)
분산 = (e^(σ²) − 1)·e^(2μ + σ²)
- μ와 σ는 X가 아니라 ln X의 평균과 표준편차입니다.
원리
어떤 양이 작은 비율 변화를 무작위로 많이 겪으며 커지면, 그 로그는 작은 무작위 항들의 합이 되어 정규분포에 가까워집니다. 그래서 그 양 자체는 로그정규분포를 따릅니다. 음수가 될 수 없고 오른쪽 꼬리가 깁니다. 이 치우침은 요약값에도 나타나 최빈값 < 중앙값 < 평균이 됩니다. 중앙값 e^μ가 가장 쓸모 있는 대표값인 경우가 많습니다.
예제 풀이
기본값: μ = 3, σ = 0.5, x = 25.
- z = (ln 25 − 3) ÷ 0.5 = (3.2189 − 3) ÷ 0.5 = 0.4378입니다.
- P(X ≤ 25) = Φ(0.4378) = 0.669217, P(X > 25) = 0.330783입니다.
- 확률밀도 f(25) = 0.0289994입니다.
- 중앙값 = e³ = 20.0855, 평균 = e^3.125 = 22.7599, 최빈값 = e^2.75 = 15.6426입니다.
- 분산 = 147.129, 표준편차 = 12.1297입니다.
| μ (ln X의 평균) | P(X ≤ x) |
|---|---|
| 0.75 | 1 |
| 1.5 | 0.999707 |
| 2.25 | 0.973673 |
| 3 | 0.669217 |
| 3.75 | 0.144061 |
| 4.5 | 0.00519985 |
| 6 | 1.3316e-8 |
결과 해석
값의 약 3분의 2가 25 이하입니다. 긴 오른쪽 꼬리 때문에 평균(22.8)이 중앙값(20.1)보다 위로 끌려 올라가는데, 소득처럼 치우친 자료의 전형적인 모습입니다. X의 평균과 표준편차만 알고 있다면 먼저 ln X의 μ와 σ로 바꿔야 합니다. 뉴스에서 소득을 말할 때 평균 대신 중위값을 자주 쓰는 것도 이런 치우침 때문입니다.
흔한 실수
- μ에 ln X가 아니라 X의 평균을 넣는 경우
- 많이 치우친 양수 자료에 정규분포를 쓰는 경우
- 평균과 중앙값이 같을 것이라 기대하는 경우
- 자연로그 대신 상용로그를 쓰는 경우
자주 묻는 질문
로그정규분포란?
ln X가 정규분포를 따를 때 X의 분포입니다.
로그정규분포의 중앙값은?
e^μ입니다.
평균이 중앙값보다 큰 이유는?
긴 오른쪽 꼬리가 평균을 끌어올리기 때문입니다.
상위 몇 %의 경계값도 구할 수 있나요?
정규분포의 분위수 z로 x = e^(μ + zσ)를 계산하면 됩니다. 예를 들어 상위 5% 경계는 z = 1.645를 넣습니다.
σ가 커지면 어떻게 되나요?
오른쪽 꼬리가 길어져 평균과 중앙값의 차이가 더 커집니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.6.6.9 Lognormal Distribution