홍라이프 계산기만–위트니 U 검정 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
만–위트니 U 검정(윌콕슨 순위합 검정)은 정규분포를 가정하지 않고 독립인 두 집단을 비교하는 비모수 검정입니다. 원래 값 대신 순위를 사용하므로 표본이 작거나, 자료가 한쪽으로 치우쳤거나, 이상값이 있거나, 만족도처럼 순서형 척도일 때 적합합니다. A 집단과 B 집단의 값을 입력하면 U, z, 근사 양측 p값을 계산합니다.
계산 방법
- 두 집단을 합쳐 작은 값부터 순위를 매깁니다. 같은 값(동순위)에는 차지한 순위의 평균을 줍니다.
- A 집단 순위의 합 R₁을 구합니다.
- U₁ = R₁ − n₁(n₁ + 1) ÷ 2, U₂ = n₁n₂ − U₁이며, U는 둘 중 작은 값을 보고합니다.
- 정규근사: z = (U₁ − n₁n₂ ÷ 2) ÷ √(n₁n₂(n₁ + n₂ + 1) ÷ 12)
- 양측 p = 2 × (1 − Φ(|z|))
z가 양수이면 A 집단의 값이 더 큰 경향이 있다는 뜻입니다.
원리
U₁은 A와 B에서 하나씩 뽑은 n₁ × n₂개의 모든 쌍 가운데 A 쪽 값이 더 큰 횟수입니다(같으면 0.5로 셉니다). 두 집단이 같은 분포에서 나왔다면 A가 이길 확률은 절반이므로 U₁의 기댓값은 n₁n₂ ÷ 2입니다. 귀무가설에서 분산은 n₁n₂(n₁ + n₂ + 1) ÷ 12이며, 표본이 어느 정도 크면 U는 정규분포에 가까워집니다. 윌콕슨(1945)과 만·위트니(1947)가 제안했습니다.
예제 풀이
- A = 3, 5, 6, 8, 9 / B = 1, 2, 4, 4, 7, n₁ = n₂ = 5입니다.
- 순위: 1→1, 2→2, 3→3, 4와 4→각 4.5, 5→6, 6→7, 7→8, 8→9, 9→10입니다.
- R₁ = 3 + 6 + 7 + 9 + 10 = 35입니다.
- U₁ = 35 − 15 = 20, U₂ = 25 − 20 = 5이므로 U = 5입니다.
- z = 7.5 ÷ √(25 × 11 ÷ 12) ≈ 1.5667입니다.
- p ≈ 0.1172(양측, 정규근사)입니다.
결과 해석
U는 0(두 집단이 완전히 분리됨)부터 n₁n₂ ÷ 2(완전히 겹침)까지의 값입니다. 예제에서 A가 평균적으로 높은 순위이지만 p ≈ 0.12로 0.05보다 커서 유의하지 않습니다. n₁ = n₂ = 5일 때 정확 분포표 기준으로 양측 5%에서 유의하려면 U ≤ 2여야 하며, U = 5의 정확 p값은 약 0.15입니다. 효과크기로는 U₁ ÷ (n₁n₂) = 0.8, 즉 쌍의 80%에서 A가 크다는 값을 함께 보면 좋습니다.
흔한 실수
- 대응표본에 사용하는 경우(이때는 윌콕슨 부호순위 검정을 씁니다)
- 조건 없이 '중앙값 비교 검정'이라고 단정하는 경우
- 보고된 U만 보고 어느 집단이 큰지 판단하려는 경우
자주 묻는 질문
t 검정 대신 언제 사용하나요?
순서형 자료이거나 분포가 크게 치우쳤거나 이상값이 있고, 표본이 작아 중심극한정리에 기대기 어려울 때입니다.
윌콕슨 순위합 검정과 같은 검정인가요?
네. 통계량이 W = U + n(n + 1) ÷ 2처럼 상수만큼 차이 날 뿐 p값은 같습니다.
출처: Mann, H. B. & Whitney, D. R. (1947). Annals of Mathematical Statistics, 18(1), 50–60. · Wilcoxon, F. (1945). Biometrics Bulletin, 1(6), 80–83.