홍라이프 계산기행렬 노름 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 행렬의 대표적인 노름을 구합니다. 1-노름(절댓값 열 합의 최댓값), ∞-노름(절댓값 행 합의 최댓값), 프로베니우스 노름, 스펙트럼 2-노름(가장 큰 특이값), 최대 노름입니다. 부등식 ‖A‖₂² ≤ ‖A‖₁‖A‖∞도 확인합니다. 수치해석, 오차 추정, 조건수 계산에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
‖A‖₁ = maxⱼ Σᵢ |a_ij| (열)
‖A‖∞ = maxᵢ Σⱼ |a_ij| (행)
‖A‖_F = √(Σ a_ij²)
‖A‖₂ = 가장 큰 특이값 σ₁
최대 노름 = 가장 큰 |a_ij|
확인: ‖A‖₂² ≤ ‖A‖₁ × ‖A‖∞
원리
노름은 행렬의 크기를 잽니다. 1-, 2-, ∞-노름은 행렬이 벡터를 얼마나 크게 늘일 수 있는지를 재는데, 벡터 길이를 재는 방법이 서로 다릅니다. 그래서 작용소 노름이라고 부릅니다. 프로베니우스 노름은 행렬을 성분들의 긴 벡터 하나로 봅니다. 모든 노름은 행렬 크기에 따른 배수 차이 안에서 크고 작음에 대해 같은 판단을 내리므로, 계산이 쉬운 1-노름과 ∞-노름은 계산이 무거운 2-노름의 빠른 어림값으로 쓸 수 있습니다.
예제 풀이
기본값: A = [1 −2; −3 4].
- 열 합: |1| + |−3| = 4, |−2| + |4| = 6이므로 ‖A‖₁ = 6입니다.
- 행 합: |1| + |−2| = 3, |−3| + |4| = 7이므로 ‖A‖∞ = 7입니다.
- 프로베니우스: √(1 + 4 + 9 + 16) = √30 = 5.47723입니다.
- 스펙트럼 노름(가장 큰 특이값) = 5.46499, 최대 노름 = 4입니다.
- 확인: ‖A‖₁ × ‖A‖∞ = 6 × 7 = 42 ≥ 5.46499² ≈ 29.87입니다.
결과 해석
스펙트럼 노름은 A가 어떤 벡터든 늘일 수 있는 가장 큰 배수입니다. 이 예에서는 A가 거의 계수 1이라 특이값 하나가 압도적이어서 프로베니우스 노름과 매우 가깝습니다. 노름에 역행렬의 노름을 곱하면 조건수가 되며, 조건수는 Ax = b가 오차에 얼마나 민감한지를 나타냅니다. 어느 노름을 쓰든 행렬이 크다, 작다는 판단은 비슷하므로, 손으로 계산할 때는 1-노름이나 ∞-노름으로 먼저 어림해 보는 것이 편리합니다.
흔한 실수
- 1-노름과 ∞-노름에서 행과 열을 바꾸는 경우
- 절댓값을 빼먹는 경우
- 프로베니우스 노름을 2-노름으로 여기는 경우(일반적으로 다릅니다)
- 최대 노름을 작용소 노름처럼 쓰는 경우(Ax를 같은 방식으로 묶어 주지 않습니다)
자주 묻는 질문
행렬의 1-노름이란?
각 열의 절댓값 합 가운데 가장 큰 값입니다.
스펙트럼 노름이란?
가장 큰 특이값으로, A가 벡터를 늘이는 가장 큰 배수입니다.
프로베니우스 노름은 어떻게 구하나요?
모든 성분의 제곱을 더해 제곱근을 취합니다.
정사각행렬이 아니어도 되나요?
네, m × n 행렬이면 모든 노름을 계산할 수 있습니다.
출처: E. W. Weisstein, "Matrix Norm", Wolfram MathWorld · J. Demmel, UC Berkeley Math 221 lecture notes, Lecture 3 (2011)