홍라이프 계산기몬티 홀 문제 시뮬레이터 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 시뮬레이터는 문이 3개 이상인 몬티 홀 게임을 수천 번 해 보고, 바꿀 때와 그대로 둘 때의 승률을 이론값과 비교합니다. 문의 수와, 사회자가 염소 문을 하나만 여는지 하나만 남기고 모두 여는지를 정할 수 있습니다. 바꾸는 쪽이 왜 유리한지 설명을 듣는 대신 직접 확인해 볼 수 있습니다.
계산 방법
그대로 두면 처음 고른 문이 맞을 때만 이깁니다: P(유지) = 1/n
사회자가 하나만 남기고 모두 열 때 바꾸면: P(바꿈) = (n − 1)/n
사회자가 염소 문을 하나만 열 때 바꾸면: P(바꿈) = (n − 1)/n × 1/(n − 2)
- 문이 3개면 두 규칙 모두 유지 1/3, 바꿈 2/3입니다.
- 시뮬레이션은 브라우저의 난수 생성기를 쓰며, 실행 번호를 바꾸면 다시 시뮬레이션합니다.
원리
사회자는 상품이 어디 있는지 알고 항상 염소 문을 엽니다. 그래서 사회자의 선택에는 정보가 담겨 있습니다. 처음 고른 문이 맞을 확률은 3분의 1뿐입니다. 나머지 3분의 2의 경우 상품은 다른 두 문 중 하나에 있고, 사회자는 어쩔 수 없이 염소를 보여 주므로 남은 문에 상품이 있습니다. 그래서 처음 선택이 틀렸을 때 정확히 바꾸는 쪽이 이기며, 그 확률이 3분의 2입니다.
예제 풀이
기본값: 문 3개, 사회자가 염소 문 하나를 엶, 10,000번, 실행 번호 1. 시뮬레이션은 무작위라 숫자가 조금씩 다를 수 있으며, 이 페이지를 확인할 때는 다음과 같았습니다.
- 이론값: 바꾸면 66.67%, 유지하면 33.33% 이깁니다.
- 시뮬레이션: 바꿔서 6,725번(67.3%), 유지해서 3,275번(32.8%) 이겼습니다.
- 바꾸는 쪽이 유지하는 쪽보다 약 2배 자주 이깁니다.
| 실행 번호 (바꾸면 다시 시뮬레이션) | 바꿀 때 승률 (시뮬레이션) |
|---|---|
| 0.25 | 66.1% |
| 0.5 | 67.1% |
| 0.75 | 66.8% |
| 1 | 66.6% |
| 1.25 | 65.5% |
| 1.5 | 66.7% |
| 2 | 65.4% |
결과 해석
10,000번이면 예상대로 시뮬레이션 승률이 이론값과 약 1퍼센트포인트 안에서 맞습니다. 문이 많을수록 차이는 커져서, 문 100개 중 사회자가 98개를 열면 바꿀 때 99% 확률로 이깁니다. 이 퍼즐은 사회자의 행동에 달려 있습니다. 사회자가 무작위로 문을 열었는데 우연히 염소가 나온 것이라면 확률은 반반입니다.
흔한 실수
- 닫힌 문이 두 개 남았으니 반반이라고 생각하는 경우
- 사회자가 상품 위치를 안다는 점을 무시하는 경우
- 적은 횟수의 시뮬레이션이 이론과 정확히 맞기를 기대하는 경우
- 항상 바꿀 기회를 주지 않을 수도 있는 사회자에게 결과를 적용하는 경우
자주 묻는 질문
몬티 홀 문제에서 바꿔야 하나요?
네, 문이 3개면 바꿀 때 3분의 2 확률로 이깁니다.
왜 반반이 아닌가요?
사회자의 선택이 무작위가 아니라 상품 위치에 따라 정해지기 때문입니다.
이 문제를 처음 알린 사람은?
스티브 셀빈이 1975년 미국 통계학회지 독자 편지란에 제시했습니다.
출처: S. Selvin (1975), "A problem in probability" and "On the Monty Hall problem", letters, The American Statistician 29(1) and 29(3)