홍라이프 계산기다항식 곱셈 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 x에 대한 두 다항식을 곱하고 정리합니다. 두 입력을 정돈하고, 모든 항끼리 곱하고, 동류항을 정리한 뒤, 차수, 항의 개수, 빠른 검산용 계수 합을 알려 줍니다. 대수 숙제와 전개 결과 확인에 쓸 수 있습니다. 항이 여러 개인 다항식끼리도 한 번에 곱할 수 있습니다.
계산 방법
첫째 다항식의 모든 항에 둘째 다항식의 모든 항을 곱합니다: c·xⁱ × d·xʲ = cd·x^(i+j)
동류항을 정리하고 차수가 높은 항부터 적습니다.
- 곱의 차수 = 두 차수의 합
- 검산: 곱의 계수 합은 두 다항식 계수 합의 곱과 같습니다(x = 1에서의 값).
원리
다항식의 곱셈은 분배법칙을 항마다 적용한 것입니다. 한 다항식의 각 항이 다른 다항식 전체에 곱해집니다. xⁱ·xʲ = x^(i+j)이므로 계수는 곱하고 지수는 더합니다. 일차식 두 개라면 익숙한 FOIL이고, 더 긴 다항식은 상자법으로 같은 곱들을 격자에 정리할 수 있습니다. x = 1을 넣으면 모든 다항식이 계수의 합이 되므로 빠른 검산이 됩니다. 항이 m개와 n개인 다항식을 곱하면 정리하기 전의 곱은 모두 m × n개입니다. 이 예에서는 3 × 2 = 6개의 곱을 만든 뒤 동류항을 묶어 4개 항으로 줄었습니다.
예제 풀이
기본값: (2x² + 3x − 1)(x − 4).
- 2x² × (x − 4) = 2x³ − 8x²입니다.
- 3x × (x − 4) = 3x² − 12x입니다.
- −1 × (x − 4) = −x + 4입니다.
- 정리하면 2x³ + (−8 + 3)x² + (−12 − 1)x + 4 = 2x³ − 5x² − 13x + 4입니다.
- 차수 3, 항 4개이며, 계수 합 = 2 − 5 − 13 + 4 = −12이고, (2 + 3 − 1)(1 − 4) = 4 × (−3) = −12로 맞습니다.
결과 해석
최고차항(2x³)은 두 최고차항의 곱, 상수항(4)은 두 상수항의 곱이므로 빠르게 점검할 수 있습니다. 차수는 더해지므로 이차식과 일차식을 곱하면 삼차식이 됩니다. 계수 합 검산이 맞지 않으면 어느 항의 부호가 빠졌는지부터 살펴보십시오. 특히 음수끼리 곱한 항에서 실수가 자주 납니다.
흔한 실수
- 일부 항끼리만 곱하는 경우
- 지수를 더하지 않고 곱하는 경우
- 특히 −1 × −4에서 음수 부호를 잃는 경우
- 차수가 다른 항을 합치는 경우
- 정리한 뒤 차수 순서대로 적지 않아 항을 빠뜨리는 경우
자주 묻는 질문
다항식은 어떻게 곱하나요?
첫째의 각 항에 둘째의 각 항을 곱한 뒤 동류항을 정리합니다.
다항식 곱의 차수는?
곱하는 다항식들의 차수의 합입니다.
곱을 빨리 검산하려면?
x = 1(또는 다른 값)을 인수와 곱에 모두 넣어 비교합니다.
세 개 이상의 다항식도 곱할 수 있나요?
두 개씩 차례로 곱하면 됩니다. 결과를 다시 첫째 칸에 넣고 다음 다항식을 둘째 칸에 넣으십시오.
출처: OpenStax, Elementary Algebra 2e (2020), §6.3 Multiply Polynomials