홍라이프 계산기근호의 곱셈 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 근호의 지수가 같은 두 거듭제곱근(제곱근끼리, 세제곱근끼리 등)을 곱하고, 결과를 가장 간단한 근호 꼴과 소수 값으로 보여 줍니다. 대수 숙제를 확인하거나, 손으로 한 간단히 하기가 맞는지 검산하거나, 곱셈 법칙의 각 단계를 살펴볼 때 쓸 수 있습니다.
계산 방법
a·ⁿ√x · c·ⁿ√y = (a·c)·ⁿ√(xy)
- n은 근호의 지수입니다(2는 제곱근, 3은 세제곱근, 최대 10).
- a와 c는 근호 앞의 정수 계수이고, x와 y는 양의 정수인 근호 안의 수입니다.
- 곱한 뒤 새 근호 안의 수 xy를 완전 n제곱수 kⁿ과 나머지 m의 곱으로 나누고, k를 근호 밖으로 꺼냅니다. ⁿ√(kⁿ·m) = k·ⁿ√m
- 소수 값은 a·c·(xy)^(1/n)입니다.
원리
거듭제곱근은 분수 지수로 쓸 수 있습니다. ⁿ√x = x^(1/n)입니다. 지수가 같은 거듭제곱은 밑끼리 곱하면 되므로 x^(1/n)·y^(1/n) = (xy)^(1/n)이 됩니다. 이것이 거듭제곱근의 곱셈 법칙이며, 두 근호의 지수가 같을 때만 성립합니다. 간단히 할 때는 같은 법칙을 거꾸로 씁니다. xy 안에 완전 n제곱수인 인수가 있으면 그 근은 정수가 되어 근호 앞으로 나옵니다. 계산기는 소인수분해로 가장 큰 인수를 찾는데, 각 소수의 지수를 n으로 나눈 몫은 밖으로, 나머지는 안에 남깁니다.
예제 풀이
기본값 n = 2, 첫째 근호 3√6, 둘째 근호 2√12로 계산합니다.
- 계수끼리 곱합니다. 3 × 2 = 6
- 근호 안의 수끼리 곱합니다. 6 × 12 = 72이므로 6√72입니다.
- 72 = 36 × 2이고, 36 = 6²이 가장 큰 완전제곱 인수입니다.
- √72 = 6√2이므로 6√72 = 6 × 6√2 = 36√2입니다.
- 소수로 확인하면 6 × √72 ≈ 50.91168825입니다.
결과 해석
간단히 한 곱이 정확한 답이며, 보통 시험에서 요구하는 형태입니다. 근호가 완전히 사라지면(예: √8 · √2 = 4) 근호 안의 곱이 완전 거듭제곱수였다는 뜻입니다. '꺼낼 완전 거듭제곱이 없다'고 나오면 근호 안의 수가 이미 가장 간단한 상태입니다. 소수 값은 답의 크기를 확인하거나 실제 길이를 잴 때만 사용하십시오.
흔한 실수
- 계수를 근호 안의 수와 곱하는 경우(계수는 계수끼리만 곱합니다)
- 지수가 다른 근호를 그대로 곱하는 경우(먼저 분수 지수로 바꿔야 합니다)
- 6√72에서 멈추고 간단히 하지 않는 경우
- 가장 큰 인수가 아닌 것을 꺼내(√72 = 2√18) 다시 정리하지 않는 경우
자주 묻는 질문
제곱근과 세제곱근을 곱할 수 있나요?
곱셈 법칙을 바로 쓸 수는 없습니다. √2 · ∛2 = 2^(1/2) · 2^(1/3) = 2^(5/6) = ⁶√32처럼 지수로 바꿔 계산합니다.
√5 · √5는 왜 5인가요?
√5 · √5 = √25이고 25가 완전제곱수라서 근호가 완전히 벗겨지기 때문입니다.
두 근호의 순서를 바꾸면 결과가 달라지나요?
아닙니다. 곱셈은 교환법칙이 성립하므로 결과가 같습니다.
출처: OpenStax, Intermediate Algebra 2e (2020), §8.4 Add, Subtract, and Multiply Radical Expressions