홍라이프 계산기음이항분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 성공 확률 p가 일정한 독립 시행을 반복할 때, r번째 성공이 나올 때까지 걸리는 시행 수(또는 실패 수)의 확률을 구합니다. '세 번째 계약까지 몇 번 전화해야 하나', '자유투 다섯 개를 넣기까지 몇 번 던져야 하나' 같은 질문에서 정확한 확률, 누적 확률, 꼬리 확률을 볼 때 씁니다.
계산 방법
r번째 성공 전에 실패가 k번 있을 확률은 다음과 같습니다.
P(k) = C(k + r − 1, r − 1) · p^r · (1 − p)^k, k = 0, 1, 2, …
- r은 필요한 성공 횟수, p는 한 번의 성공 확률(0과 1 사이)입니다.
- X는 전체 시행 수(X = k + r) 또는 실패 수(X = k)로 셀 수 있으며, 계산기는 먼저 실패 수로 바꿉니다.
- 평균은 실패 기준 r(1 − p)/p, 시행 기준 r/p이고, 분산은 둘 다 r(1 − p)/p²입니다.
- 누적 확률은 정규화된 불완전 베타 함수로 계산합니다.
원리
r번째 성공이 k + r번째 시행에서 나오려면 마지막 시행이 성공이어야 하고(확률 p), 그 앞 k + r − 1번 안에 성공 r − 1번과 실패 k번이 순서에 상관없이 들어 있어야 합니다. 그런 순서의 수가 C(k + r − 1, r − 1)이고, 시행이 독립이므로 각 순서의 확률은 p^(r−1)(1 − p)^k입니다. 이를 곱하면 공식이 됩니다. r = 1이면 기하분포가 됩니다. 이항분포는 시행 수를 고정하고 성공 수를 세지만, 음이항분포는 성공 수를 고정하고 시행 수를 셉니다.
예제 풀이
기본값 r = 3, p = 0.4, X는 전체 시행 수, X = 8입니다.
- 세 번째 성공 전 실패 수는 k = 8 − 3 = 5입니다.
- C(7, 2) = 21, p³ = 0.064, 0.6⁵ = 0.07776입니다.
- P(X = 8) = 21 × 0.064 × 0.07776 = 0.104509입니다.
- P(X ≤ 8) = 0.684605, P(X > 8) = 0.315395, P(X < 8) = 0.580096, P(X ≥ 8) = 0.419904입니다.
- 평균은 3 ÷ 0.4 = 7.5회, 분산은 11.25, 표준편차는 3.3541입니다.
| 시행당 성공 확률 p | P(X = x) |
|---|---|
| 0.1 | 0.0124003 |
| 0.2 | 0.0550502 |
| 0.3 | 0.0952957 |
| 0.4 | 0.104509 |
| 0.5 | 0.0820313 |
| 0.6 | 0.0464486 |
| 0.8 | 0.00344064 |
결과 해석
P(X = x)는 r번째 성공이 딱 그 시행에서 나올 확률이고, P(X ≤ x)는 그때까지 끝날 확률이라 계획을 세울 때 유용합니다. P(X > x)가 크면 기다림이 더 길어지는 경우가 흔하다는 뜻입니다. 평균에 비해 표준편차가 크면 걸리는 횟수의 편차가 큽니다.
흔한 실수
- 시행 수 기준과 실패 수 기준을 혼동하는 경우(둘은 r만큼 차이 납니다)
- 시행마다 성공 확률이 바뀌거나 서로 영향을 주는 상황에 적용하는 경우
- 정해진 시행 수에서 성공을 세는 이항분포와 혼동하는 경우
- p를 40처럼 백분율로 넣는 경우(0.4로 넣어야 합니다)
자주 묻는 질문
음이항분포와 기하분포는 어떻게 다른가요?
기하분포는 r = 1인 특수한 경우로, 첫 성공까지의 대기를 다룹니다.
두 방식에서 분산이 같은 이유는 무엇인가요?
시행 수는 실패 수에 상수 r을 더한 값이라 평균만 이동하고 퍼짐은 그대로이기 때문입니다.
X가 r보다 작을 수 있나요?
시행 수로 셀 때는 불가능합니다. 성공 r번에는 최소 r번의 시행이 필요합니다.
출처: Weisstein, E. W., "Negative Binomial Distribution", Wolfram MathWorld