홍라이프 계산기이항분포의 정규근사 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이항분포는 성공 확률이 p로 같은 독립 시행을 n번 했을 때의 성공 횟수 X의 분포입니다. 불량품 개수, 찬성 응답 수, 자유투 성공 횟수 등이 그 예입니다. 정확한 이항확률은 많은 항을 더해야 하므로, n이 크면 정규분포로 근사해 계산하는 경우가 많습니다. 이 계산기는 연속성 수정을 적용해 P(X ≤ x)와 P(X ≥ x)를 구하고, 근사가 적절한지도 확인합니다.
계산 방법
- 평균 μ = np, 표준편차 σ = √(np(1 − p))
- P(X ≤ x) ≈ Φ((x + 0.5 − μ) ÷ σ)
- P(X ≥ x) ≈ 1 − Φ((x − 0.5 − μ) ÷ σ)
- np ≥ 10이고 n(1 − p) ≥ 10이면 근사가 적절하다고 판정합니다.
Φ는 표준정규분포의 누적분포함수입니다. n은 시행 횟수, p는 0과 1 사이의 확률, x는 성공 횟수(정수)입니다.
원리
이항분포의 성공 횟수는 0 또는 1인 독립 결과 n개의 합입니다. 따라서 중심극한정리(이 경우 드무아브르–라플라스 정리)에 의해 n이 커지면 평균과 분산이 같은 정규분포에 가까워집니다. 그런데 이항분포는 이산형, 정규분포는 연속형이므로 '정확히 x'의 확률은 x − 0.5부터 x + 0.5까지의 넓이로 나타냅니다. 그래서 'x 이하'는 x + 0.5까지, 'x 이상'은 x − 0.5부터 계산하며, 이 ±0.5를 연속성 수정이라고 합니다.
예제 풀이
- 입력: n = 100, p = 0.3, x = 35
- μ = 100 × 0.3 = 30, σ = √(100 × 0.3 × 0.7) = √21 ≈ 4.5826
- P(X ≤ 35): z = (35.5 − 30) ÷ 4.5826 ≈ 1.2002 → Φ(1.2002) ≈ 0.8850
- P(X ≥ 35): z = (34.5 − 30) ÷ 4.5826 ≈ 0.9820 → 1 − Φ(0.9820) ≈ 0.1631
- np = 30, n(1 − p) = 70으로 모두 10 이상이므로 적절(yes)로 판정합니다.
| p | P(X ≤ x) 근사 |
|---|---|
| 0.075 | 1 |
| 0.15 | 0.9999999953 |
| 0.225 | 0.9990745173 |
| 0.3 | 0.884968851 |
| 0.375 | 0.3397599992 |
| 0.45 | 0.0280941813 |
| 0.6 | 2.851071e-7 |
결과 해석
예제에서 성공이 35번 이하일 확률은 약 88.5%, 35번 이상일 확률은 약 16.3%입니다. 두 확률 모두 '정확히 35번'을 포함하므로 합이 1보다 큽니다. 정확한 이항확률은 각각 0.8839와 0.1629로, 근사 오차가 약 0.001에 불과합니다. 근사가 거칠다고 나오면 정확한 이항확률을 직접 계산하고, p가 작고 n이 크면 푸아송 근사를 고려하십시오.
흔한 실수
- 연속성 수정을 빼거나 방향을 반대로 적용하는 경우
- n이 작고 p가 0이나 1에 가까워 분포가 크게 치우쳤는데도 근사를 쓰는 경우
- 시행이 독립이 아니거나 시행마다 p가 달라지는 상황에 적용하는 경우
자주 묻는 질문
교과서에 따라 np ≥ 5를 쓰기도 하는데 왜 다른가요?
둘 다 경험 규칙이며, 10은 더 엄격하고 최근 널리 쓰이는 기준입니다.
P(X = x)는 어떻게 구하나요?
Φ((x + 0.5 − μ) ÷ σ) − Φ((x − 0.5 − μ) ÷ σ)로 근사하며, P(X ≤ x) + P(X ≥ x) − 1과 같습니다.
출처: Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1 (Wiley).