홍라이프 계산기정규분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
정규분포 계산기는 정규분포를 따르는 변수가 두 값 사이에 들어갈 확률, 아래 값보다 작을 확률, 위 값보다 클 확률을 구합니다. 평균 μ, 표준편차 σ, 그리고 구간의 양 끝값을 넣으면 됩니다. 시험 점수, 측정 오차, 제품 규격, 키처럼 평균을 중심으로 좌우 대칭으로 모이는 자료를 다룰 때 널리 쓰입니다.
계산 방법
- 각 경곗값을 표준화 점수로 바꿉니다. z = (x − μ) ÷ σ이며, 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
- 표준정규분포의 누적분포함수 Φ(z), 즉 종 모양 곡선에서 z 왼쪽의 넓이를 구합니다.
- P(lo < X < hi) = Φ(z_hi) − Φ(z_lo)
- P(X < lo) = Φ(z_lo)
- P(X > hi) = 1 − Φ(z_hi)
x, μ, σ는 같은 단위여야 하고 σ는 0보다 커야 합니다. 연속확률변수에서는 한 점의 확률이 0이므로 '<'와 '≤'의 결과가 같습니다.
원리
정규분포의 확률밀도함수는 f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/(2σ²))입니다. 모든 정규분포는 모양이 같고 μ만큼 옮겨지고 σ만큼 늘어난 것뿐이므로, 평균을 빼고 표준편차로 나누면 평균 0, 표준편차 1인 표준정규분포로 바뀝니다. 이것이 표준화입니다. Φ(z)는 간단한 식으로 적을 수 없어 오차함수를 이용해 Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)]로 수치 계산합니다. 정규분포가 자주 나타나는 까닭은 중심극한정리 때문입니다. 서로 독립인 작은 요인이 많이 더해지면 그 합과 평균은 정규분포에 가까워집니다.
예제 풀이
- 입력값: μ = 100, σ = 15, 아래 값 85, 위 값 115입니다.
- z_lo = (85 − 100) ÷ 15 = −1, z_hi = (115 − 100) ÷ 15 = 1입니다.
- Φ(1) ≈ 0.841345, Φ(−1) ≈ 0.158655입니다.
- P(85 < X < 115) = 0.841345 − 0.158655 ≈ 0.6827(68.27%)입니다.
- P(X < 85)와 P(X > 115)는 각각 약 0.1587이고, z 점수는 −1, 1입니다.
| 상한 x | P(lo < X < hi) |
|---|---|
| 28.8 | -0.1586542368 |
| 57.5 | -0.1563519878 |
| 86.2 | 0.0210034152 |
| 115 | 0.6826894921 |
| 144 | 0.8395757778 |
| 172 | 0.8413440747 |
| 230 | 0.8413447461 |
결과 해석
경험 법칙으로 결과를 점검할 수 있습니다. 평균 ±1σ 안에 약 68.27%, ±2σ 안에 95.45%, ±3σ 안에 99.73%가 들어갑니다. 꼬리 확률이 0.05보다 작으면 가정한 분포에서 드문 값이고, 0.003보다 작으면 매우 드문 값입니다. 세 확률을 더하면 항상 1이 됩니다.
흔한 실수
- 표준편차 대신 분산(σ²)을 입력하는 경우
- P(X > hi)를 1에서 빼지 않고 왼쪽 넓이 그대로 읽는 경우
- 소득이나 대기 시간처럼 한쪽으로 크게 치우친 자료에 정규분포를 적용하는 경우
자주 묻는 질문
평균에서 표준편차 1개 이내에 들어갈 확률은 얼마인가요?
μ와 σ가 얼마이든 z 점수가 −1과 1이 되므로 약 0.6827입니다.
표본평균과 표본표준편차를 넣어도 되나요?
추정값으로 쓸 수 있습니다. 다만 표본이 작으면 참값의 불확실성이 크므로 결과를 근삿값으로 보셔야 합니다.
특정한 한 값의 확률은 어떻게 구하나요?
연속변수에서는 0입니다. 정수로 반올림된 점수라면 100점의 경우 99.5~100.5처럼 작은 구간으로 계산합니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1 Normal Distribution · Abramowitz, M. and Stegun, I. A., Handbook of Mathematical Functions (1964), Chapter 26