홍라이프 계산기영공간 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 행렬 A의 영공간(핵), 즉 Ax = 0을 만족하는 모든 벡터 x를 구합니다. 기저, 퇴화차수(nullity), 계수(rank), 자유변수, 일반해, 기약 행사다리꼴(RREF)을 함께 보여 줍니다. 선형대수 과제, 열벡터의 일차독립 판정, 동차연립방정식의 해 전체를 나타낼 때 씁니다.
계산 방법
- A를 기약 행사다리꼴로 바꿉니다.
- 선행 1이 있는 열은 피벗 열, 나머지 변수는 자유변수입니다.
- 피벗 변수를 자유변수로 나타냅니다.
- 자유변수 하나를 1, 나머지를 0으로 두면 기저 벡터 하나가 나옵니다.
퇴화차수는 자유변수의 개수이고, 계수 + 퇴화차수 = n(열의 수)입니다. 행은 세미콜론, 성분은 공백이나 쉼표로 구분하며 8 × 8까지 입력할 수 있습니다.
원리
행 교환, 행의 상수배, 한 행의 배수를 다른 행에 더하는 기본행연산은 Ax = 0의 해집합을 바꾸지 않습니다. 따라서 RREF는 A와 영공간이 같으면서 읽기 쉽습니다. 자유변수는 아무 값이나 가질 수 있고, 그러면 피벗 변수가 정해집니다. 해를 x = t₁u₁ + t₂u₂ + … 꼴로 쓰면 영공간이 u₁, u₂, …로 생성됨을 알 수 있고, 각 벡터는 자기 자유변수 자리에만 1이 있으므로 일차독립입니다. 계수-퇴화차수 정리는 모든 열이 피벗이거나 자유 방향 중 하나라는 뜻입니다. 또한 영공간의 벡터는 A의 모든 행과 직교합니다.
예제 풀이
기본 행렬 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]입니다.
- R2 − 4R1 = (0, −3, −6), R3 − 7R1 = (0, −6, −12)
- R2에 −1/3을 곱해 (0, 1, 2), R3 + 6R2 = (0, 0, 0)
- R1 − 2R2 = (1, 0, −1)이므로 RREF = [1 0 −1; 0 1 2; 0 0 0]
- 피벗이 1, 2열에 있어 계수는 2, x₃이 자유변수입니다.
- x₁ = x₃, x₂ = −2x₃이므로 x₃ = 1로 두면 기저는 (1, −2, 1), 퇴화차수는 1, 일반해는 x = t₁·(1, −2, 1)입니다.
결과 해석
퇴화차수가 0이면 영벡터만 해이므로 열벡터가 일차독립이고, 정사각행렬이면 역행렬이 있습니다. 0보다 크면 열들의 어떤 결합이 0이 되며, 기저 벡터가 그 결합을 알려 줍니다. 여기서는 1·1열 − 2·2열 + 1·3열 = 0입니다. 기저는 하나로 정해지지 않으며 (−1, 2, −1)처럼 0이 아닌 상수배도 정답입니다.
흔한 실수
- RREF가 아닌 원래 A에서 기저를 읽는 경우
- 자유변수 항을 옮길 때 부호를 바꾸지 않는 경우
- 영행이 있다는 사실만으로 영공간을 판단하는 경우(자유 열의 유무가 기준입니다)
- 영공간과 열공간을 혼동하는 경우
자주 묻는 질문
영공간과 핵은 다른 개념인가요?
같은 집합입니다. 선형사상에서는 핵, 행렬에서는 영공간이라는 말을 주로 씁니다.
기저 벡터가 맞는지 어떻게 확인하나요?
A에 곱해 보십시오. (1, −2, 1)이면 세 행 모두 0이 나옵니다.
기본 행렬의 행렬식은 왜 0인가요?
퇴화차수가 0보다 큰 정사각행렬은 특이행렬이므로 행렬식이 0입니다.
출처: D. Margalit & J. Rabinoff, Interactive Linear Algebra, §2.7 Basis and Dimension · Wolfram MathWorld, "Fundamental Theorem of Linear Algebra"