홍라이프 계산기심프슨 공식 수치적분 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
정적분 ∫ₐᵇ f(x) dx는 x = a부터 x = b까지 곡선과 x축 사이의 넓이를 부호를 고려해 나타낸 값입니다. 이 계산기는 다항식의 정적분을 심프슨 공식과 사다리꼴 공식으로 근사하고, 부정적분으로 구한 정확한 값도 함께 보여 주어 각 방법의 정확도를 비교할 수 있게 합니다. 수치적분은 측정 데이터나 부정적분을 식으로 구할 수 없는 함수를 컴퓨터로 적분할 때 쓰는 방법입니다.
계산 방법
구간 [a, b]를 폭 h = (b − a) ÷ N인 N개의 소구간으로 나누고 fᵢ = f(a + i·h)라 합니다.
- 심프슨 공식: (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fₙ₋₁ + fₙ]. N은 짝수여야 하며 홀수를 넣으면 짝수로 맞춥니다.
- 사다리꼴 공식: h[f₀/2 + f₁ + … + fₙ₋₁ + fₙ/2]
- 정확한 값: F(b) − F(a)이며, F는 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1)로 구한 부정적분입니다.
계수는 최고차항부터 입력하므로 "1 0 0"은 f(x) = x²입니다.
원리
사다리꼴 공식은 이웃한 점을 직선으로 잇고 사다리꼴 넓이를 더합니다. 심프슨 공식은 연속한 세 점을 지나는 포물선으로 곡선을 근사하고 그 넓이를 정확히 계산하며, 가중치 1, 4, 1은 이 포물선의 넓이에서 나옵니다. 포물선은 곡선의 휘어짐까지 반영하므로 오차가 h⁴에 비례해 줄고, 사다리꼴 공식은 h²에 비례해 줄어듭니다. 심프슨 공식은 3차 이하 다항식에서 오차가 없습니다.
예제 풀이
- 기본 입력값은 f(x) = x², a = 0, b = 3, N = 100이므로 h = 0.03입니다.
- 정확한 값은 F(x) = x³/3에서 F(3) − F(0) = 27/3 = 9입니다.
- x²은 2차식이므로 심프슨 공식도 정확히 9를 줍니다.
- 사다리꼴 공식의 오차는 (b − a)h²f″ ÷ 12 = 3 × 0.0009 × 2 ÷ 12 = 0.00045이므로 결과는 9.00045입니다.
| 시작 a | 심프슨 공식 |
|---|---|
| 0 | 9 |
| 1 | 8.666666667 |
| 2 | 6.333333333 |
| 3 | 0 |
| 4 | -12.33333333 |
| 5 | -32.66666667 |
| 6 | -63 |
결과 해석
수치 결과를 정확한 값과 비교해 보십시오. 곡선이 아래로 볼록(f″ > 0)하면 사다리꼴 결과가 실제보다 크고, 위로 볼록하면 작게 나옵니다. N을 두 배로 늘리면 사다리꼴 오차는 약 1/4, 심프슨 오차는 약 1/16로 줄어듭니다. 결과가 음수이면 x축 아래쪽 넓이가 더 크다는 뜻입니다.
흔한 실수
- 0인 계수를 빠뜨리는 실수입니다. x²은 1이 아니라 1 0 0입니다.
- 심프슨 공식에 홀수 개의 소구간을 쓰는 경우입니다.
- 곡선이 x축을 지날 때 정적분 값을 실제 넓이의 합으로 오해하는 경우입니다.
- a와 b를 바꿔 넣어 부호가 반대로 나오는 경우입니다.
자주 묻는 질문
포물선을 쓰는데 왜 3차식까지 정확한가요?
두 소구간씩 묶으면 3차항의 오차가 대칭으로 상쇄되어, 오차가 4계 도함수에만 의존하기 때문입니다.
소구간은 몇 개로 나누면 되나요?
필요한 자릿수에서 결과가 더 이상 변하지 않을 때까지 N을 늘리면 됩니다.
심프슨 3/8 공식은 무엇인가요?
네 점을 지나는 3차식을 써서 가중치 1, 3, 3, 1과 3h/8을 곱하는 방법으로, N이 3의 배수여야 합니다.
출처: Burden, R. L., Faires, J. D., Numerical Analysis, Chapter 4 · NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5 Quadrature (dlmf.nist.gov)