홍라이프 계산기수심 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 세 꼭짓점의 좌표로 삼각형의 수심 H, 즉 세 높이(수선)가 만나는 점을 구합니다. 삼각형의 종류, H의 위치, 무게중심 G, 외심 O, 오일러 직선 위의 거리 OH도 함께 보여 줍니다. 좌표기하 과제나 작도 확인에 사용합니다.
계산 방법
꼭짓점에서 내린 높이는 마주 보는 변과 수직입니다. H는 두 높이 조건을 내적으로 쓴 다음 식을 만족합니다.
(H − A) · (C − B) = 0, (H − B) · (C − A) = 0
이는 Hx, Hy에 대한 일차연립방정식이므로 바로 풉니다. 무게중심은 G = ((Ax + Bx + Cx)/3, (Ay + By + Cy)/3)이고, 외심은 오일러 직선 관계 O = (3G − H)/2로 구합니다. 세 점이 한 직선 위에 있으면 삼각형이 아니므로 답이 없습니다.
원리
두 벡터의 내적이 0이면 두 벡터는 수직입니다. 그래서 각 식은 '그 꼭짓점에서 H로 가는 선이 마주 보는 변에 수직'이라는 뜻입니다. 높이 두 개로 점이 정해지며, 세 번째 높이도 반드시 그 점을 지난다는 것이 잘 알려진 정리입니다. 오일러는 H, G, O가 항상 한 직선 위에 있고 G가 그 사이에서 HG = 2·GO가 됨을 보였습니다. H의 위치는 각에 따라 달라져 예각삼각형은 내부, 직각삼각형은 직각 꼭짓점, 둔각삼각형은 외부에 있습니다.
예제 풀이
기본값 A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4)입니다.
- C − B = (−4, 4)이므로 −4Hx + 4Hy = 0, 즉 Hy = Hx입니다.
- C − A = (2, 4)이므로 2(Hx − 6) + 4Hy = 0입니다.
- Hy = Hx를 넣으면 6Hx = 12, Hx = 2, Hy = 2이므로 H = (2, 2)입니다.
- 세 각이 모두 예각이므로 H는 삼각형 내부에 있습니다.
- G ≈ (2.66667, 1.33333), O = (3, 1), OH = √2 ≈ 1.41421입니다.
결과 해석
먼저 삼각형의 종류를 확인하십시오. H가 그림 밖에 있다면 계산이 틀린 것이 아니라 둔각삼각형인 것입니다. OH가 0이면 H, G, O가 한 점에 모이며, 이는 정삼각형에서만 일어납니다. 좌표는 유효숫자 6자리로 반올림해 표시하며, 계산 자체는 반올림 없이 이루어집니다.
흔한 실수
- 높이 대신 변의 수직이등분선(외심을 구하는 선)을 쓰는 경우
- 꼭짓점과 마주 보지 않는 변에 수선을 내리는 경우
- 수심이 항상 삼각형 안에 있다고 생각하는 경우
- 한 직선 위의 세 점을 입력하는 경우
자주 묻는 질문
수심과 무게중심은 같은 점인가요?
정삼각형일 때만 같고, 보통은 오일러 직선 위의 서로 다른 점입니다.
직각삼각형의 수심은 어디인가요?
두 직각변이 곧 높이이므로 직각인 꼭짓점입니다.
기울기로도 구할 수 있나요?
네. 서로 수직인 기울기로 두 높이의 직선 방정식을 세워 풀면 됩니다. 다만 세로 변은 따로 처리해야 합니다.
출처: Weisstein, E. W., "Orthocenter", Wolfram MathWorld