홍라이프 계산기포물선 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
포물선은 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프로 나타나는 U자 모양의 곡선입니다. 이 계산기는 포물선의 꼭짓점, 초점과 준선, 대칭축, y절편을 한 번에 구합니다. 이차함수와 이차곡선 단원의 문제는 물론, 던진 물체의 운동, 그리고 초점의 성질을 이용하는 위성 안테나, 자동차 전조등, 태양열 조리기의 설계에도 등장합니다.
계산 방법
- 꼭짓점: x_v = −b ÷ (2a), y_v = c − b² ÷ (4a)입니다.
- 초점 거리: p = 1 ÷ (4a)이며 꼭짓점에서 초점까지의 부호 있는 거리입니다.
- 초점: (x_v, y_v + p), 준선: y = y_v − p입니다.
- 대칭축: x = x_v, y절편: c입니다.
a가 0이면 직선이 되므로 a는 0이 아니어야 합니다.
원리
완전제곱식으로 고치면 y = a(x − x_v)² + y_v가 됩니다. 제곱항은 음수가 될 수 없으므로 a > 0이면 x = x_v에서 y가 가장 작은 값 y_v를 갖고, a < 0이면 가장 큰 값을 갖습니다. 그래서 꼭짓점의 좌표가 위와 같고, 곡선은 꼭짓점을 지나는 수직선에 대해 대칭입니다.
도형으로 보면 포물선은 한 점(초점)과 한 직선(준선)에서 같은 거리에 있는 점들의 모임입니다. 꼭짓점을 원점에 두고 초점을 (0, p), 준선을 y = −p로 놓으면 이 조건은 x² = 4py, 곧 y = x² ÷ (4p)로 정리됩니다. 이를 y = ax²과 비교하면 p = 1/(4a)입니다. 축에 평행하게 들어온 빛이 포물면 거울에서 반사되어 모두 초점에 모이는 것도 이 성질 때문입니다.
예제 풀이
- 입력값: a = 1, b = −4, c = 3이므로 y = x² − 4x + 3입니다.
- x_v = 4 ÷ 2 = 2, y_v = 3 − 16 ÷ 4 = −1이므로 꼭짓점은 (2, -1)입니다.
- p = 1 ÷ 4 = 0.25이므로 초점은 (2, −1 + 0.25) = (2, -0.75)입니다.
- 준선: y = −1 − 0.25 = -1.25입니다.
- 대칭축은 x = 2, y절편은 3이며, 꼭짓점 꼴로는 y = (x − 2)² − 1입니다.
결과 해석
a > 0이면 위로 열린 포물선이고 꼭짓점이 최솟값, a < 0이면 아래로 열린 포물선이고 꼭짓점이 최댓값입니다. |a|가 클수록 폭이 좁아지고 초점이 꼭짓점에 가까워집니다. 꼭짓점의 y값은 최적값을 알려 주며, 예제에서 y의 최솟값은 −1입니다. 꼭짓점이 x축 아래에 있고 위로 열려 있으므로 x축과 x = 1, x = 3 두 점에서 만납니다.
흔한 실수
- −b ÷ (2a)에서 음의 부호를 빠뜨리는 경우입니다.
- a가 음수일 때 초점의 위치를 반대로 놓는 경우입니다. 이때 p가 음수가 되어 초점은 꼭짓점 아래에 있습니다.
- 꼭짓점에서 초점까지의 거리를 a로 생각하는 경우입니다. 실제로는 1/(4a)입니다.
자주 묻는 질문
x절편은 어떻게 구하나요?
근의 공식으로 ax² + bx + c = 0을 풉니다. 예제에서는 x = 1과 x = 3입니다.
위성 안테나의 수신기는 어디에 두나요?
초점에 둡니다. 깊이가 d, 지름이 D인 안테나의 초점 거리는 D² ÷ (16d)입니다.
포물선의 통경이란 무엇인가요?
초점을 지나고 준선에 평행한 현으로, 길이는 |1/a|이며 예제에서는 1입니다.
출처: Apollonius of Perga, Conics, Books I–III · J. Stewart, L. Redlin and S. Watson, Precalculus: Mathematics for Calculus, Cengage, chapter on conic sections