평행사변형·마름모 계산기

평행사변형·마름모 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행하고 길이가 같은 사각형입니다. 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모, 네 각이 모두 직각이면 직사각형이 됩니다. 이웃한 두 변 a, b와 그 사이의 각 θ를 넣으면 넓이, 둘레, 두 대각선의 길이를 구합니다. 비스듬한 패널이나 타일, 가새를 댄 틀, 물리의 힘의 평행사변형, 수학의 벡터 문제에 쓰입니다.

계산 방법

• 넓이: S = ab sin θ (a를 밑변으로 하면 높이가 b sin θ이므로 밑변 × 높이와 같습니다)
• 둘레: P = 2(a + b)
• 대각선: d₁ = √(a² + b² + 2ab cos θ), d₂ = √(a² + b² − 2ab cos θ)

θ는 도 단위로 넣습니다. 마름모는 a = b로 넣으면 됩니다. 넓이는 길이 단위의 제곱으로 나옵니다.

원리

평행사변형 한쪽 끝의 삼각형을 잘라 반대편으로 옮기면 밑변과 높이가 같은 직사각형이 되므로 넓이는 밑변 × 높이입니다. 밑변 a에 대한 높이는 b sin θ이므로 넓이는 ab sin θ입니다. 대각선은 코사인법칙으로 구합니다. 한 대각선은 각 θ의 맞은편에 있어 d² = a² + b² − 2ab cos θ이고, 다른 대각선은 이웃한 각 180° − θ의 맞은편에 있는데 cos(180° − θ) = −cos θ이므로 부호가 바뀝니다. 두 식을 더하면 d₁² + d₂² = 2(a² + b²)라는 평행사변형 법칙이 나옵니다.

예제 풀이

1. 입력값은 a = 8, b = 5, θ = 60°이고 sin θ ≈ 0.866025, cos θ = 0.5입니다.
2. 넓이는 8 × 5 × 0.866025 ≈ 34.64101615(20√3)입니다.
3. 둘레는 2 × (8 + 5) = 26입니다.
4. 긴 대각선은 √(64 + 25 + 40) = √129 ≈ 11.35781669입니다.
5. 짧은 대각선은 √(64 + 25 − 40) = √49 = 7입니다.
6. 검산하면 129 + 49 = 178 = 2 × (64 + 25)입니다.

결과 해석

두 변의 길이가 정해져 있다면 θ = 90°(직사각형, 이 예에서는 40)일 때 넓이가 가장 크고, 납작하게 눌릴수록 0에 가까워집니다. 경첩으로 연결한 틀에 대각선 가새를 대야 모양이 유지되는 이유입니다. 두 대각선이 같으면 직사각형이며, 마름모는 두 대각선이 수직으로 만나므로 넓이를 d₁ × d₂ ÷ 2로도 구할 수 있습니다.

흔한 실수

• sin θ 없이 두 변만 곱하는 경우입니다(8 × 5 = 40). 이는 직사각형일 때만 맞습니다.
• 밑변 × 높이에서 높이 대신 비스듬한 변의 길이를 쓰는 경우입니다.
• θ와 180° − θ의 넓이가 다르다고 생각하는 경우입니다. 사인값이 같으므로 넓이도 같습니다.

자주 묻는 질문

마름모의 넓이를 대각선으로 구하려면요?

넓이 = d₁ × d₂ ÷ 2입니다. 대각선이 6과 8이면 넓이는 24, 한 변은 5입니다.

평행사변형의 두 대각선은 길이가 같나요?

직사각형일 때만 같습니다. 다만 두 대각선은 언제나 서로를 이등분합니다.

정사각형은 마름모인가요?

네. 네 변이 같고 네 각이 직각이므로 마름모이면서 직사각형입니다.

출처: Euclid, Elements, Book I, Propositions 34 and 35 (properties and area of parallelograms) · G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press (vectors and the parallelogram law)