홍라이프 계산기파론도의 역설 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 각각 평균적으로 손해인 두 게임을 무작위로 섞으면 이득이 될 수 있다는 파론도의 역설을 보여 줍니다. 게임 A, 게임 B, 무작위 혼합의 장기 기대 이득을 정확히 계산하고, 정한 판 수 동안의 기대 변화도 구합니다. 확률, 마르코프 연쇄, '지는 전략을 더하면 지는 전략'이라는 직관이 왜 틀릴 수 있는지 탐구할 때 씁니다.
계산 방법
자본은 매 판 +1 또는 −1 변합니다.
- 게임 A: 이길 확률 1/2 − ε
- 게임 B: 자본이 3의 배수면 1/10 − ε, 아니면 3/4 − ε
- 혼합: 확률 γ로 A, 나머지는 B를 하므로 각 상태의 승률은 γ(1/2 − ε) + (1 − γ)·(B의 승률)
자본을 3으로 나눈 나머지는 상태가 세 개인 마르코프 연쇄입니다. 계산기는 정상분포 π를 구해 판당 기대 이득 Σ πᵢ(2wᵢ − 1)을 계산하고, 판 수를 곱해 전체 기대 변화를 냅니다.
원리
게임 B는 세 상태 중 둘에서 좋은 동전을 쓰므로 유리해 보입니다. 하지만 상태 1에서 지면 나쁜 상태 0으로 떨어지기 때문에 B만 하면 상태 0에 머무는 시간이 3분의 1보다 길어지고, 그래서 손해를 봅니다. 자본과 무관한 게임 A를 섞으면 이 흐름이 흔들려 상태 0에 머무는 비율이 줄고, 좋은 동전을 쓰는 일이 늘어 A의 작은 손실을 넘어섭니다. 역설은 B의 규칙이 자본에 따라 달라지기 때문에 생깁니다.
예제 풀이
기본값 ε = 0.005, γ = 50%, 100판입니다.
- 게임 A의 승률은 0.495, 판당 이득은 −0.01입니다.
- 게임 B는 상태 0에 38.36% 머물며 판당 이득은 −0.008695입니다.
- 혼합하면 승률이 상태 0에서 0.295, 나머지에서 0.62가 되고, 상태 0 비율은 34.51%로 줄어듭니다.
- 혼합의 판당 이득은 0.0157입니다.
- 100판 기대 변화는 혼합 +1.57, A −1, B −0.8695로 역설이 나타납니다.
| 섞을 때 게임 A를 할 확률 (%) | 게임당 기대 이익: 무작위 혼합 |
|---|---|
| 12.5 | 0.005332 |
| 25 | 0.01337 |
| 37.5 | 0.01651 |
| 50 | 0.0157 |
| 62.5 | 0.01185 |
| 75 | 0.005763 |
| 100 | -0.01 |
결과 해석
판당 값은 장기 평균입니다. A와 B는 음수인데 혼합이 양수면 역설이 확인된 것입니다. ε이 커지면 모든 게임이 불리해져, 대략 0.013을 넘으면 혼합도 손해가 됩니다. 짧은 판 수에서는 실제 자본이 기대값보다 훨씬 크게 흔들립니다.
흔한 실수
- 아무 손해 게임 두 개나 섞으면 이긴다고 생각하는 경우(자본에 따라 바뀌는 B의 규칙이 필요합니다)
- 기대 변화를 보장된 결과로 보는 경우
- AABB처럼 정해진 순서로 번갈아 하는 것과 무작위 혼합을 같다고 보는 경우
자주 묻는 질문
파론도의 역설은 확률 법칙에 어긋나나요?
아닙니다. B의 승률이 상태에 따라 달라지고, 섞으면 각 상태에 머무는 비율이 바뀌기 때문입니다.
누가 발견했나요?
물리학자 후안 파론도가 1996년 브라운 래칫에서 착안해 제시했습니다.
50% 혼합이 가장 좋은가요?
꼭 그렇지는 않습니다. γ를 바꿔 이득이 어떻게 달라지는지 확인해 보십시오.
출처: S. N. Ethier and J. Lee, "Limit theorems for Parrondo's paradox", Electronic Journal of Probability (2009)