홍라이프 계산기부분분수 분해 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 유리식 P(x)/Q(x)를 분모의 인수마다 하나씩 나오는 간단한 분수들의 합으로 나눕니다. 미적분에서 유리함수를 적분할 때, 라플라스 역변환이나 z 역변환을 구할 때, 대수식을 정리할 때 부분분수 분해를 씁니다.
계산 방법
- 분자의 차수가 분모 이상이면 먼저 나눗셈을 합니다. P/Q = 다항식 + R/Q
- 분모의 인수마다 항을 둡니다.
- 일차 인수 (ax + b): A/(ax + b)
- 거듭된 인수 (ax + b)ⁿ: A₁/(ax + b) + A₂/(ax + b)² + … + Aₙ/(ax + b)ⁿ
- 기약 이차 인수(b² − 4ac < 0): (Ax + B)/(ax² + bx + c), 그 거듭제곱도 같은 방식
- 양변에 Q를 곱해 전개하고 x의 각 차수 계수를 비교하면 미지수에 대한 일차연립방정식이 나옵니다. 계산기가 이를 풀며, 간단한 분수는 정확한 값으로 보여 줍니다.
원리
부분분수 분해는 분수 덧셈을 거꾸로 하는 일입니다. A/(x − 2) + B/(x + 1)을 더하면 공통분모는 (x − 2)(x + 1), 분자는 A(x + 1) + B(x − 2)가 됩니다. 분해는 주어진 분자를 만드는 A와 B를 찾는 문제입니다. 두 다항식이 모든 x에서 같으려면 계수가 모두 같아야 하므로, 계수 비교로 간단한 일차방정식이 됩니다. 미지수의 개수는 항상 분모의 차수와 같아서 인수가 올바르면 해가 하나로 정해집니다.
예제 풀이
기본값 P(x) = 5x − 4, Q(x) = (x − 2)(x + 1)입니다.
- 분자 차수 1 < 분모 차수 2이므로 나눗셈은 필요 없습니다.
- 5x − 4 = A(x + 1) + B(x − 2)로 놓습니다.
- x의 계수 A + B = 5, 상수항 A − 2B = −4입니다.
- 빼면 3B = 9이므로 B = 3, A = 2입니다.
- 결과는 2/(x − 2) + 3/(x + 1)입니다. 분모를 전개하면 x² − x − 2이고 미지수는 2개입니다.
간단히 확인하려면 x = 2를 대입해 6 = 3A, A = 2를 얻을 수 있습니다.
결과 해석
각 항은 분모의 인수 하나에 대응하므로 하나씩 적분하거나 역변환하면 됩니다. 이 예의 적분은 2 ln|x − 2| + 3 ln|x + 1| + C입니다. 다항식 부분이 나오면 나눗셈에서 생긴 것이므로 빠뜨리지 말아야 합니다. 계수가 소수로 나오면 정확한 값이 간단한 분수가 아니라는 뜻입니다.
흔한 실수
- 분자 차수가 낮지 않은데 나눗셈을 건너뛰는 경우
- (x − 1)² 같은 거듭된 인수에 항을 하나만 쓰는 경우(A/(x − 1) + B/(x − 1)²가 필요합니다)
- 기약 이차 인수 위에 상수 분자만 두는 경우(Ax + B가 필요합니다)
- 분모를 잘못 인수분해하는 경우(계산기는 입력한 인수를 그대로 씁니다)
자주 묻는 질문
부분분수가 적분에 왜 도움이 되나요?
각 간단한 항은 로그나 아크탄젠트처럼 적분이 알려져 있지만, 원래 분수는 그렇지 않기 때문입니다.
가리기(cover-up) 방법이란 무엇인가요?
거듭되지 않은 일차 인수를 가리고 나머지에 그 근을 대입하면 해당 계수가 바로 나옵니다.
모든 유리함수를 분해할 수 있나요?
실수 범위에서 분모를 일차 인수와 기약 이차 인수로 인수분해할 수 있으면 항상 가능합니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §7.4 Partial Fractions · OpenStax, Calculus Volume 2 (2016), §3.4 Partial Fractions