홍라이프 계산기파스칼의 삼각형 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
파스칼의 삼각형은 각 수가 바로 위 두 수의 합이 되도록 자연수를 삼각형 모양으로 배열한 것입니다. 이 계산기는 입력한 n번째 행과 0행부터 n행까지의 모든 행을 보여 줍니다. 각 행의 수는 이항계수 C(n, k)이므로 (x + y)ⁿ의 전개, 조합의 수 세기, 이항분포 확률 계산에 쓰입니다. 최대 40행까지 만들 수 있습니다.
계산 방법
- n행에는 C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n)의 n + 1개의 수가 있습니다.
- 각 수는 C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)로, n개 중 k개를 고르는 경우의 수입니다.
- 같은 결과를 덧셈으로도 얻을 수 있습니다. 각 행의 양 끝은 1이고, 안쪽 수는 위의 두 수의 합입니다. 즉 C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k)입니다.
- 행 번호는 0부터 세므로 맨 위의 1이 0행입니다.
원리
덧셈 규칙은 경우의 수로 설명됩니다. n개 중 k개를 고를 때 특정한 한 개를 기준으로 생각해 봅시다. 그것을 포함하면 나머지 n − 1개에서 k − 1개를 더 고르고, 포함하지 않으면 나머지 n − 1개에서 k개를 모두 고릅니다. 두 경우는 겹치지 않으므로 경우의 수를 더하면 됩니다. 같은 이유로 (x + y)ⁿ⁻¹에 (x + y)를 곱하면 이웃한 계수끼리 더해져 n행의 계수가 만들어집니다.
예제 풀이
- 기본 입력값은 행 수 8입니다.
- 0행은 1, 1행은 1 1, 2행은 1 2 1, 3행은 1 3 3 1입니다.
- 이웃한 수를 계속 더하면 4행 1 4 6 4 1, 5행 1 5 10 10 5 1, 6행 1 6 15 20 15 6 1, 7행 1 7 21 35 35 21 7 1이 됩니다.
- 8행은 1, 1+7 = 8, 7+21 = 28, 21+35 = 56, 35+35 = 70이고 나머지는 대칭입니다.
- 결과는 1 8 28 56 70 56 28 8 1입니다. 검산하면 C(8, 4) = 40320 ÷ (24 × 24) = 70입니다.
결과 해석
n행의 k번째 수(0부터 셈)는 n개 중 k개를 고르는 경우의 수입니다. 8행의 56은 8명 중 3명을 뽑는 방법이 56가지라는 뜻입니다. k개를 고르는 것은 n − k개를 남기는 것과 같으므로 각 행은 좌우 대칭입니다. 한 행의 합은 2ⁿ이며 8행의 합은 256으로, 원소 8개인 집합의 부분집합 개수와 같습니다. 가운데 수가 가장 큽니다.
흔한 실수
- 맨 위 행을 1행으로 세어 답이 한 행씩 밀리는 실수입니다.
- 각 행의 첫 수를 k = 0이 아니라 k = 1로 세는 경우입니다.
- 행이 커질수록 수가 얼마나 커지는지 과소평가하는 경우입니다. 40행에는 10¹¹을 넘는 수가 있습니다.
자주 묻는 질문
왜 파스칼의 삼각형이라고 부르나요?
블레즈 파스칼이 「산술삼각형론」(1665년 출판)에서 체계적으로 연구했기 때문입니다. 다만 중국, 인도, 페르시아에서는 그보다 훨씬 전부터 알려져 있었습니다.
삼각형에는 어떤 규칙이 숨어 있나요?
대각선에 자연수와 삼각수가 나타나고, 홀수만 색칠하면 시에르핀스키 삼각형 무늬가 생깁니다.
(x + y)⁵는 어떻게 전개하나요?
5행 1 5 10 10 5 1을 계수로 써서 x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵가 됩니다.
출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §26.3 (dlmf.nist.gov) · Pascal, B., Traité du triangle arithmétique (1665)