홍라이프 계산기완전제곱식 판별 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 이차식 ax² + bx + c가 완전제곱식인지 확인하고, 그렇다면 이항식의 제곱으로 인수분해하며, 아니라면 어떤 c나 b가 있어야 완전제곱식이 되는지 알려 줍니다. 인수분해 연습, 완전제곱식 만들기(배방), 대수 과제 확인에 씁니다.
계산 방법
- 공식: a² + 2ab + b² = (a + b)², a² − 2ab + b² = (a − b)²
- ax² + bx + c에서는 b² − 4ac = 0이 판별 조건이며, 이때 ax² + bx + c = a(x + b/(2a))²입니다.
- 정수 계수이면 최대공약수를 먼저 묶습니다. 예: 2x² + 4x + 2 = 2(x + 1)²
- 필요한 중간항: ±2·√(ax²)·√c
- 완전제곱식이 되게 하는 c는 b² ÷ (4a), b는 ±2√(ac)입니다.
원리
이항식 (px + q)를 제곱하면 p²x² + 2pqx + q²입니다. 그래서 첫 항과 끝 항이 제곱이고, 중간 계수가 두 제곱근의 곱의 두 배여야 합니다. 이 조건은 판별식 b² − 4ac = 0과 같으며, 이차방정식이 중근을 갖고 그래프가 x축에 한 점에서 접한다는 뜻이기도 합니다. 완전제곱식 만들기는 이 성질을 이용해 c = b²/(4a)로 정해 식을 완전제곱으로 바꾸는 방법입니다.
예제 풀이
기본값 a = 4, b = −12, c = 9입니다.
- √(4x²) = 2x, √9 = 3입니다.
- 필요한 중간항은 ±2 × 2x × 3 = ±12x이고, 실제 중간항 −12x와 맞습니다.
- 판별식은 (−12)² − 4 × 4 × 9 = 144 − 144 = 0입니다.
- 중간항이 음수이므로 결과는 (2x − 3)²이며, 완전제곱식 여부는 '예'입니다.
- 확인하면 (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9입니다. 완전제곱식이 되게 하는 c는 144 ÷ 16 = 9, b는 ±12입니다.
결과 해석
'예'와 함께 나온 인수분해 형태가 정확한 답이며, 중근은 x = −b/(2a)(이 예에서는 1.5)입니다. '아니오'라면 제시된 c나 b와 비교해 얼마나 차이 나는지 볼 수 있습니다. 판별식이 음수면 실근이 없고, 양수면 서로 다른 두 실근이 있습니다.
흔한 실수
- 첫 항과 끝 항이 제곱인지만 보고 중간항을 확인하지 않는 경우
- 부호를 틀리는 경우(중간항의 부호가 (a + b)²와 (a − b)²를 정합니다)
- 최대공약수를 묶지 않아 2x² + 4x + 2를 완전제곱식이 아니라고 보는 경우
- 음수 상수항을 제곱으로 보는 경우(−9는 실수의 제곱이 아닙니다)
주의: 이 도구는 숫자 계수를 입력받습니다. 9x² + 12xy + 4y²처럼 문자가 여럿인 식도 같은 원리를 따르지만 직접 확인하는 것이 안전합니다.
자주 묻는 질문
x² + 6x + 9는 완전제곱식인가요?
네. 6² − 4 × 1 × 9 = 0이고 (x + 3)²으로 인수분해됩니다.
완전제곱식 만들기와는 어떤 관계인가요?
ax² + bx에 상수 b²/(4a)를 더해 완전제곱식으로 만드는 것이 완전제곱식 만들기입니다.
판별식이 0이면 그래프는 어떻게 되나요?
포물선이 꼭짓점 한 점에서 x축에 접합니다.
출처: OpenStax, Elementary Algebra 2e (2020), §7.4 Factor Special Products