홍라이프 계산기위상 이동 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 y = A·sin(Bx − C) + D 또는 y = A·cos(Bx − C) + D 꼴의 사인·코사인 함수에서 위상 이동, 진폭, 주기, 진동수, 중심선, 최댓값, 최솟값을 구합니다. 삼각함수 과제, 그래프 그리기, 파동·조석·소리·교류 같은 주기 현상을 모형으로 나타낼 때 씁니다.
계산 방법
- 위상 이동 = C ÷ B(양수면 오른쪽, 음수면 왼쪽)
- 진폭 = |A|
- 주기 = 2π ÷ |B|(라디안), 또는 360° ÷ |B|(도)
- 진동수 = 1 ÷ 주기(x 한 단위당 반복 횟수)
- 중심선 y = D, 최댓값 D + |A|, 최솟값 D − |A|
이동량을 π의 배수, 주기에 대한 비율, 0부터 한 주기 사이로 줄인 값으로도 보여 줍니다.
원리
y = sin x에서 시작합니다. 입력에 B를 곱하면 그래프가 가로로 압축되어 한 주기가 2π 대신 2π ÷ |B|가 됩니다. 괄호 안을 B(x − C/B)로 묶으면, x = C/B일 때 sin(Bx)가 x = 0에서 가졌던 값이 나오므로 그래프가 C/B만큼 옮겨진 것입니다. A는 높이(진폭)를 늘리고, D는 곡선 전체를 올려 중심선을 y = D로 만듭니다. 사인과 코사인은 주기마다 반복되므로 이동량에 주기의 정수배를 더하거나 빼도 같은 그래프입니다.
예제 풀이
기본값은 사인, A = 2, B = 3, C = 1.5, D = −1, 라디안입니다.
- 함수는 y = 2·sin(3x − 1.5) − 1입니다.
- 위상 이동 = 1.5 ÷ 3 = 0.5, 오른쪽으로 이동합니다.
- 진폭은 2, 주기는 2π ÷ 3 ≈ 2.0944, 진동수는 약 0.477465입니다.
- 중심선 y = −1, 최댓값 1, 최솟값 −3입니다.
- π의 배수로는 0.5 ÷ π ≈ 0.159155, 주기에 대한 비율로는 0.5 ÷ 2.0944 ≈ 0.2387입니다.
| B (주파수 계수) | 위상 이동 C ÷ B |
|---|---|
| 0.75 | 2 |
| 1.5 | 1 |
| 2.25 | 0.666667 |
| 3 | 0.5 |
| 3.75 | 0.4 |
| 4.5 | 0.333333 |
| 6 | 0.25 |
결과 해석
이동량 0.5는 sin(3x)의 영점, 꼭대기, 바닥이 모두 0.5만큼 늦게 나타난다는 뜻입니다. 주기에 대한 비율은 두 파동을 비교할 때 유용해서, 0.25 주기는 4분의 1 주기(90°) 늦음을 뜻합니다. 이동량이 주기보다 크면 줄인 값이 같은 그래프를 더 간단히 나타냅니다. 그래프를 그릴 때는 중심선과 최댓값·최솟값으로 위아래 범위를 먼저 정하고, 이동한 시작점에서 한 주기를 그리면 됩니다.
흔한 실수
- 위상 이동을 C ÷ B가 아니라 C로 읽는 경우
- 부호를 틀리는 경우(sin(2x + 1)은 C = −1이므로 −0.5, 왼쪽 이동입니다)
- B와 주기에서 도와 라디안을 섞는 경우
- 위상 이동과 수직 이동 D를 혼동하는 경우
자주 묻는 질문
위상 이동이 양수면 왼쪽인가요, 오른쪽인가요?
Bx − C 꼴에서 C ÷ B가 양수면 오른쪽으로 이동합니다.
cos x는 sin x와 비교해 위상이 얼마나 다른가요?
cos x = sin(x + π/2)이므로 코사인은 사인을 왼쪽으로 π/2 옮긴 것입니다.
진폭이 위상 이동에 영향을 주나요?
아닙니다. A는 높이만 바꾸고, 이동량은 B와 C로 정해집니다.
출처: OpenStax, Precalculus 2e (2021), §6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions