홍라이프 계산기원주율 실험 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 무작위 실험으로 원주율 π를 추정합니다. 정사각형 안에 점을 흩뿌리는 몬테카를로 방법과, 줄이 그어진 바닥에 바늘을 떨어뜨리는 뷔퐁의 바늘 실험 중 하나를 고를 수 있습니다. 추정값, 맞은 횟수, 실제 π와의 차이, 그 시행 횟수에서의 전형적인 오차를 보여 줍니다. 확률, 시뮬레이션, 무작위 추정이 왜 느리게 수렴하는지 살펴볼 때 씁니다.
계산 방법
- 무작위 점: π ≈ 4 × (사분원 안의 점 수) ÷ (전체 점 수). 전형적 오차 ≈ 4√(p(1 − p)/n), p = π/4
- 뷔퐁의 바늘(바늘 길이 l ≤ 줄 간격 d, x = l/d): π ≈ 2x × 던진 횟수 ÷ 걸친 횟수. 전형적 오차 ≈ √(π²/(2n)·(π/x − 2))
난수는 브라우저의 암호학적 생성기에서 나오므로 실행할 때마다 결과가 조금씩 다릅니다.
원리
단위 정사각형의 넓이는 1이고, 그 안의 사분원 x² + y² ≤ 1의 넓이는 π/4입니다. 점을 고르게 무작위로 찍으면 사분원 안에 들어갈 확률이 π/4이므로, 맞은 비율이 π/4의 추정값이 됩니다. 뷔퐁의 바늘에서는 줄 간격보다 짧은 바늘이 줄에 걸칠 확률이 2l/(πd)이며, 18세기 뷔퐁 백작이 처음 계산했습니다. 두 방법 모두 비율을 추정하는 것이므로 오차는 1/√n에 비례해 줄어듭니다. 시행을 100배 늘려야 정확도가 약 10배 좋아집니다.
예제 풀이
기본값은 무작위 점, 시행 100,000회입니다. 페이지에 나온 실행 결과는 다음과 같습니다.
- 사분원 안의 점: 78,593개
- 맞은 비율: 78,593 ÷ 100,000 = 0.78593
- 추정값: 4 × 0.78593 = 3.1437(3.14372)
- π와의 차이: 0.002127, 즉 0.07%
- 전형적 오차: 4√(0.7854 × 0.2146 ÷ 100,000) ≈ 0.005193
다시 실행하면 맞은 수는 달라지지만, 추정값은 대개 π ± 0.005 안에 들어옵니다.
| 시행 횟수 (점 개수 또는 바늘 던지기 횟수) | π의 추정값 |
|---|---|
| 25,000 | 3.1304 |
| 50,000 | 3.1312 |
| 75,000 | 3.1354 |
| 100,000 | 3.1355 |
| 125,000 | 3.1464 |
| 150,000 | 3.1385 |
| 200,000 | 3.1411 |
결과 해석
π와의 차이를 전형적 오차와 비교하십시오. 차이가 전형적 오차 1배보다 작으면 평범한 결과이고, 2배 정도는 약 5%의 확률로 나옵니다. 소수 한 자리를 더 맞히려면 시행이 약 100배 필요합니다. 뷔퐁의 바늘에서는 길이 비가 1에 가까울수록 오차가 작습니다.
흔한 실수
- 소수점 아래 여러 자리를 기대하는 경우(점 백만 개로도 보통 2~3자리입니다)
- 한 번의 운 좋은 또는 나쁜 결과로 방법을 평가하는 경우
- 줄 간격보다 긴 바늘을 쓰는 경우(간단한 공식이 맞지 않습니다)
자주 묻는 질문
왜 4를 곱하나요?
사분원이 정사각형의 π/4를 차지하므로 맞은 비율에 4를 곱해야 π가 됩니다.
왜 실행할 때마다 값이 바뀌나요?
점이 무작위이기 때문입니다. 매번 새 표본이라 추정값이 π 주변에서 흔들립니다.
3.14를 안정적으로 얻으려면 몇 번이 필요한가요?
대략 수십만 개의 점이 필요합니다. 10만 개에서 전형적 오차는 약 0.005입니다.
출처: Weisstein, E. W., "Buffon's Needle Problem", Wolfram MathWorld