홍라이프 계산기두 평면의 교선 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 3차원 공간에서 두 평면이 만나는 직선(교선)을 구합니다. 방향벡터, 원점에서 가장 가까운 교선 위의 점, 매개변수 방정식, 두 평면 사이의 각, 원점에서 교선까지의 거리를 보여 줍니다. 다변수 미적분, 벡터 기하, 컴퓨터 그래픽, CAD 문제에 씁니다.
계산 방법
평면 a₁x + b₁y + c₁z = d₁, a₂x + b₂y + c₂z = d₂의 법선벡터를 n₁ = ⟨a₁, b₁, c₁⟩, n₂ = ⟨a₂, b₂, c₂⟩라 하면 다음과 같습니다.
- 방향벡터: v = n₁ × n₂
- 점 P₀: 두 평면 방정식과 v · P₀ = 0을 함께 풀어 원점에 가장 가까운 점을 구합니다.
- 교선: (x, y, z) = P₀ + t·v
- 각: cos θ = |n₁ · n₂| ÷ (|n₁||n₂|)
- 원점에서 교선까지의 거리 = |P₀|
v = 0이면 두 평면이 평행하거나 같은 평면이라 교선이 하나로 정해지지 않습니다.
원리
평면의 법선벡터는 그 평면 안의 모든 방향과 수직입니다. 교선은 두 평면 모두에 놓이므로 그 방향은 두 법선에 모두 수직이며, 외적이 바로 두 벡터에 동시에 수직인 벡터입니다. 두 식을 모두 만족하는 점은 교선 위에 있고, 그중 v와 수직인 점을 고르면 원점에서 가장 가까운 점이 되어 답이 하나로 정해집니다. 두 평면 사이의 각은 두 법선 사이의 예각과 같습니다.
예제 풀이
기본 평면은 x + y + z = 6, x − y + 2z = 5입니다.
- n₁ × n₂ = ⟨1·2 − 1·(−1), 1·1 − 1·2, 1·(−1) − 1·1⟩ = ⟨3, −1, −2⟩
- x + y + z = 6, x − y + 2z = 5, 3x − y − 2z = 0을 풀면 P₀ = (29/14, 23/14, 16/7) ≈ (2.07143, 1.64286, 2.28571)
- 교선: x = 2.07143 + 3t, y = 1.64286 − t, z = 2.28571 − 2t
- n₁ · n₂ = 2이므로 cos θ = 2 ÷ (√3·√6) ≈ 0.4714, θ ≈ 61.874°
- 원점에서의 거리 = |P₀| ≈ 3.49489
결과 해석
방향벡터는 0이 아닌 수를 곱해도 되고, P₀ 대신 교선 위의 다른 점을 써도 되므로 교재마다 모양은 달라도 같은 직선일 수 있습니다. 아무 t 값의 점을 두 평면 방정식에 넣어 확인하십시오. 각이 90°면 두 평면은 수직이고, 0°에 가까우면 거의 평행하여 작은 변화에도 교선이 크게 움직일 수 있습니다.
흔한 실수
- 외적 순서를 바꾸는 경우(방향은 반대가 되지만 같은 직선입니다)
- 교선이 z = 0에 닿지 않는데 z = 0으로 놓고 점을 찾는 경우
- d를 반대편에 두어 부호가 바뀌는 경우(여기서는 ax + by + cz = d 꼴입니다)
- 평행한 평면인지 확인하지 않는 경우
자주 묻는 질문
두 평면이 만나는지 어떻게 아나요?
법선이 평행하지 않으면, 즉 n₁ × n₂ ≠ 0이면 한 직선에서 만납니다.
매개변수 방정식은 하나뿐인가요?
아닙니다. 교선 위의 어떤 점과 방향벡터의 어떤 0이 아닌 상수배로도 같은 직선을 나타냅니다.
대칭 방정식으로는 어떻게 쓰나요?
각 식을 t에 대해 풀면 (x − 2.07143)/3 = (y − 1.64286)/(−1) = (z − 2.28571)/(−2)입니다.
출처: Northern Kentucky University MAT 229, "Section Summary: Equations of Lines and Planes" §12.5