홍라이프 계산기점추정 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 n번 시행 중 x번 성공한 자료로 모비율의 점추정값 네 가지, 즉 최대가능도 추정값 x ÷ n, 윌슨(Agresti–Coull) 중점, 라플라스 계승 규칙, 제프리스 추정값을 구합니다. 표준오차와 오차한계도 함께 보여 줍니다. 설문 결과, 전환율, 합격률, 불량률, A/B 테스트, 특히 표본이 작을 때 유용합니다.
계산 방법
- 최대가능도 추정(MLE): p̂ = x ÷ n
- 윌슨 중점: (x + z²/2) ÷ (n + z²)
- 라플라스: (x + 1) ÷ (n + 2)
- 제프리스: (x + 0.5) ÷ (n + 1)
- 표준오차: SE = √(p̂(1 − p̂) ÷ n)
- 오차한계: z × SE(신뢰수준 95%면 z = 1.96)
원리
표본비율은 관측된 자료가 나올 가능성을 가장 크게 만드는 p 값이라서 최대가능도 추정값이라고 부릅니다. 하지만 표본이 아주 작거나 성공이 0번 또는 n번이면 극단적인 값이 됩니다. 3번 중 3번 성공이면 100%인데 믿기 어렵습니다. 다른 추정값은 성공과 실패를 반씩 가상으로 더해 추정값을 50% 쪽으로 약간 당깁니다. 윌슨은 각각 z²/2(95%에서 약 2개), 라플라스는 1개, 제프리스는 0.5개를 더하며, 제프리스는 베이즈 Beta(x + ½, n − x + ½) 사후분포의 평균과 같습니다. n이 커지면 네 값은 모두 같아집니다.
예제 풀이
기본값 x = 27, n = 40, 신뢰수준 95%입니다.
- MLE = 27 ÷ 40 = 0.675
- z = 1.96, z² = 3.8415이므로 윌슨 = (27 + 1.9207) ÷ (40 + 3.8415) ≈ 0.6597
- 라플라스 = 28 ÷ 42 ≈ 0.6667, 제프리스 = 27.5 ÷ 41 ≈ 0.6707
- SE = √(0.675 × 0.325 ÷ 40) ≈ 0.07406
- 오차한계 = 1.96 × 0.07406 ≈ 0.1451이므로 대략 0.53~0.82 범위입니다. 네 값이 비슷하므로 보통 x ÷ n을 보고합니다.
결과 해석
네 추정값이 소수 둘째 자리까지 비슷하면 x ÷ n과 오차한계를 보고하면 됩니다. 눈에 띄게 다르면 표본이 작거나 비율이 0이나 1에 가깝다는 뜻이므로, 윌슨이나 제프리스 추정값과 적절한 구간을 쓰는 편이 믿을 만합니다. 오차한계는 참값이 추정값에서 어느 정도 떨어져 있을 수 있는지를 보여 줍니다.
흔한 실수
- 아주 작은 표본의 0%나 100%를 확실한 값처럼 보고하는 경우
- 오차한계가 모든 오차를 포함한다고 생각하는 경우(표집오차만 반영합니다)
- n이 매우 작거나 비율이 극단적인데 p̂ ± z·SE 구간을 그대로 쓰는 경우
- x에 횟수 대신 백분율을 넣는 경우
자주 묻는 질문
어떤 추정값이 가장 좋은가요?
표본이 중간 이상이면 거의 차이가 없고, 작은 표본이나 극단적인 결과에서는 윌슨이나 제프리스가 대개 더 안정적입니다.
계승 규칙이란 무엇인가요?
라플라스의 (x + 1) ÷ (n + 2)로, 다음 시행에서 성공할 확률을 추정합니다.
왜 점추정이라고 하나요?
범위를 주는 구간추정과 달리 값 하나를 주기 때문입니다.
출처: Agresti, A. & Coull, B. A. (2001), Statistical Science 16(2), 117–120