홍라이프 계산기푸아송분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
푸아송분포는 사건이 서로 독립적으로, 일정한 평균 비율 λ로 일어날 때 정해진 시간이나 공간 안에서 사건이 정확히 k번 일어날 확률을 나타냅니다. 고객센터에 한 시간 동안 걸려 오는 전화 수, 한 쪽당 오탈자 수, 하룻밤 응급 입원 수, 단위 면적당 결함 수, 초당 방사성 붕괴 수가 대표적인 예입니다. 계산기는 P(X = k), 누적확률 P(X ≤ k), 꼬리확률 P(X > k)를 구합니다.
계산 방법
- P(X = k) = λᵏ·e⁻λ ÷ k!(k = 0, 1, 2, …)
- P(X ≤ k) = i = 0부터 k까지 P(X = i)의 합
- P(X > k) = 1 − P(X ≤ k)
λ는 관심 있는 구간에서의 평균 사건 수이므로 구간 길이에 맞춰야 합니다. 시간당 6건이라면 30분 구간의 λ는 3입니다. 푸아송분포는 평균과 분산이 모두 λ입니다.
원리
구간을 n개의 아주 작은 조각으로 나누면 각 조각에서 사건이 한 번 일어날 확률은 p = λ/n이고 두 번 일어날 가능성은 거의 없습니다. 그러면 사건 수는 이항분포 B(n, λ/n)를 따릅니다. n을 키우면 C(n, k)(λ/n)ᵏ는 λᵏ/k!로, (1 − λ/n)ⁿ⁻ᵏ는 e⁻λ로 가까워져 푸아송 공식이 나옵니다. 기회는 많지만 하나하나는 드문 사건이 일정한 비율로 일어날 때 맞는 모형이라 '희귀 사건의 법칙'이라고도 부릅니다.
예제 풀이
- 기본 입력: λ = 3, k = 2이며 e⁻³ ≈ 0.0497871입니다.
- P(X = 0) = e⁻³ ≈ 0.0497871, P(X = 1) = 3e⁻³ ≈ 0.1493612
- P(X = 2) = 3² × e⁻³ ÷ 2! = 4.5e⁻³ ≈ 0.2240418077
- P(X ≤ 2) = (1 + 3 + 4.5) × e⁻³ = 8.5e⁻³ ≈ 0.4231900811
- P(X > 2) = 1 − 0.4231900811 = 0.5768099189
| 평균 발생률 λ | P(X = k) |
|---|---|
| 0.75 | 0.132853093 |
| 1.5 | 0.2510214302 |
| 2.25 | 0.2667917872 |
| 3 | 0.2240418077 |
| 3.75 | 0.1653591506 |
| 4.5 | 0.1124785899 |
| 6 | 0.0446175392 |
결과 해석
평균 3건일 때 정확히 2건은 약 22%, 2건을 넘는 경우는 약 58%의 구간에서 나타납니다. 인력 배치나 설비 용량을 정할 때는 꼬리확률을 많이 씁니다. P(X > k)가 허용할 수 있는 위험 수준 아래로 내려가는 가장 작은 k를 찾는 방식입니다. 표준편차는 √λ이므로 λ = 3이면 대개 0~6건 사이에서 관측됩니다.
흔한 실수
- 구간 길이와 맞지 않는 λ를 쓰는 경우
- 전화가 몰려오거나 감염이 퍼지는 것처럼 사건이 뭉쳐 일어나는데 적용하는 경우. 이때는 분산이 평균보다 커지며 음이항분포가 더 잘 맞을 수 있습니다.
- "k건 초과"를 물었는데 P(X ≤ k)를 읽는 경우
자주 묻는 질문
λ에 소수를 넣어도 되나요?
됩니다. λ는 평균이므로 하루 0.7건처럼 양의 실수면 되고, k는 0 이상의 정수여야 합니다.
사건이 한 번도 일어나지 않을 확률은?
P(X = 0) = e⁻λ이며, λ = 3이면 약 5%입니다.
이항분포 대신 언제 쓸 수 있나요?
n이 크고 p가 작을 때 λ = np로 근사합니다. 흔히 n ≥ 20, p ≤ 0.05를 기준으로 삼습니다.
출처: Sheldon M. Ross, A First Course in Probability, Pearson · NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Poisson Distribution