홍라이프 계산기극좌표·직교좌표 변환 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
평면 위의 한 점은 원점에서 가로·세로로 얼마나 떨어져 있는지(직교좌표 x, y)로 나타낼 수도 있고, 원점에서의 거리와 방향(극좌표 r, θ)으로 나타낼 수도 있습니다. 이 계산기는 두 표현을 서로 바꿔 줍니다. 수학 시간의 삼각함수·미적분은 물론 물리의 원운동과 힘의 분해, 전기공학의 페이저와 복소수, 로봇 팔이나 컴퓨터 그래픽처럼 ‘거리와 방향’이 더 자연스러운 곳에서 자주 쓰입니다.
계산 방법
- 직교좌표 → 극좌표: r = √(x² + y²), θ = atan2(y, x)이며, 라디안 값에 180/π를 곱해 도(°)로 나타냅니다.
- 극좌표 → 직교좌표: x = r cos θ, y = r sin θ이며, θ는 도 단위로 입력합니다.
‘입력 형식’에서 방향을 고르면 됩니다. 극좌표 모드에서는 첫 칸이 r, 둘째 칸이 θ(°)입니다. x, y, r은 같은 길이 단위를 쓰면 되고, θ는 항상 도 단위입니다.
원리
점에서 x축에 수선을 내리면 두 변이 |x|, |y|이고 빗변이 r인 직각삼각형이 생깁니다. 피타고라스 정리로 r을 구하고, 코사인·사인의 정의(밑변÷빗변, 높이÷빗변)에서 x = r cos θ, y = r sin θ가 나옵니다. 거꾸로 각을 구할 때 단순한 arctan(y/x)는 −90°~90° 사이의 값만 돌려주므로 (1, 1)과 (−1, −1)을 구별하지 못합니다. 두 인수를 받는 atan2(y, x)는 x와 y의 부호를 함께 보고 네 사분면 모두에서 올바른 각을 −180°~180° 범위로 돌려줍니다.
예제 풀이
- 기본 입력값은 x = 3, y = 4, 입력 형식은 직교좌표입니다.
- r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5입니다.
- 두 좌표가 모두 양수이므로 제1사분면이고, θ = arctan(4/3)입니다.
- arctan(1.3333…) = 0.927295 rad이고, 180/π를 곱하면 53.13010235°입니다.
- 결과는 r = 5, θ = 53.13010235°입니다.
거꾸로 5 cos 53.1301° = 3, 5 sin 53.1301° = 4가 되어 검산도 맞습니다.
결과 해석
r은 원점까지의 거리이므로 음수가 되지 않습니다. θ는 양의 x축에서 시계 반대 방향으로 잰 각입니다. 0°~90°는 제1사분면, 90°~180°는 제2사분면이고, 음수 각은 시계 방향 회전을 뜻합니다. 예를 들어 −90°는 바로 아래쪽입니다. 0°~360° 값이 필요하면 음수 θ에 360°를 더하면 됩니다. (5, 53.13°), (5, 413.13°)는 모두 같은 점입니다.
흔한 실수
- atan2 대신 arctan(y/x)를 써서 사분면을 잘못 잡는 경우입니다. (−3, −4)의 각은 53.13°가 아니라 −126.87°입니다.
- 도 단위 칸에 라디안 값을 넣는 경우입니다.
- 원점(r = 0)에서는 각이 정해지지 않는다는 점을 잊는 경우입니다.
자주 묻는 질문
복소수의 극형식은 어떻게 구하나요?
복소수 x + yi는 점 (x, y)와 같으므로 절댓값 r = √(x² + y²), 편각 θ = atan2(y, x)를 구해 r(cos θ + i sin θ)로 쓰면 됩니다.
r이 음수일 수도 있나요?
일부 교재에서는 음수 r을 ‘반대 방향으로 간다’는 뜻으로 허용합니다. 이 계산기는 항상 r ≥ 0으로 돌려줍니다.
θ가 왜 −180°~180° 사이로 나오나요?
atan2 함수의 표준 범위가 그렇기 때문입니다. 음수에 360°를 더하면 0°~360° 형태가 됩니다.
출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.23 (inverse trigonometric functions, including the two-argument arctangent) · James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, section on polar coordinates