홍라이프 계산기극분해 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정사각행렬 A를 A = U·P로 나눕니다. U는 직교행렬(회전, 경우에 따라 반사 포함)이고 P는 대칭 양의 준정부호 행렬(순수한 늘림)입니다. 왼쪽 형태 A = P′·U, det(U), 2 × 2 행렬의 회전각, 분해가 유일한지도 알려 줍니다. 선형대수, 연속체역학, 컴퓨터 그래픽, 로봇공학에서 회전과 변형을 분리할 때 씁니다.
계산 방법
- 특잇값 분해 A = W·Σ·Vᵀ를 구합니다.
- P = V·Σ·Vᵀ = √(AᵀA)
- U = W·Vᵀ
- 왼쪽 형태는 P′ = W·Σ·Wᵀ = √(AAᵀ)이고, 같은 U로 A = P′·U입니다.
det(U)는 순수 회전이면 +1, 반사가 섞이면 −1이며 det A와 부호가 같습니다. 2 × 2 회전각은 atan2(U₂₁, U₁₁)입니다.
원리
극분해는 복소수를 z = e^(iθ)·r로 쓰는 것의 행렬판으로, 방향 부분과 크기 부분의 곱입니다. 모든 선형사상은 서로 수직인 축을 따라 공간을 늘린 뒤(P) 회전하거나 반사합니다(U). 특잇값 분해에서 Vᵀ는 입력을 늘림 축으로 돌리고, Σ는 늘리고, W는 출력 방향으로 돌립니다. W·Vᵀ를 묶으면 회전, V·Σ·Vᵀ를 묶으면 원래 좌표계로 나타낸 늘림이 됩니다. P는 항상 유일하고, U는 A가 가역일 때만 유일합니다.
예제 풀이
기본 행렬은 A = [2 −1; 1 3]입니다.
- AᵀA = [5 1; 1 10]이고, 그 제곱근 P = [2.22834 0.185695; 0.185695 3.15682]입니다.
- 특잇값은 약 3.19258과 2.19258이며, 곱이 det A = 7입니다.
- U = A·P⁻¹ = [0.928477 −0.371391; 0.371391 0.928477]
- det(U) = +1이고, 회전각은 atan2(0.371391, 0.928477) ≈ 21.8014°입니다.
- P′ = [2.22834 −0.185695; −0.185695 3.15682]이며, A가 가역이므로 분해는 유일합니다.
결과 해석
U는 행렬이 얼마나 회전(또는 반사)하는지 알려 줍니다. P의 고윳값은 특잇값, 즉 늘림 배율이고 고유벡터는 늘림 방향입니다. P가 단위행렬에 가까우면 A는 거의 순수한 회전입니다. 역학에서 변형 기울기 F = R·U로 쓰면 R은 강체 회전, U는 늘림 텐서입니다.
흔한 실수
- 오른쪽 형태 U·P와 왼쪽 형태 P′·U를 혼동하는 경우(U는 같고 P가 다릅니다)
- 특이행렬에서도 U가 유일하다고 생각하는 경우
- P가 대각행렬이라고 생각하는 경우(대칭이지만 보통 대각은 아닙니다)
- 정사각이 아닌 행렬에 적용하는 경우
자주 묻는 질문
극분해와 특잇값 분해는 어떤 관계인가요?
특잇값 분해를 다시 묶은 것으로, U = W·Vᵀ, P = V·Σ·Vᵀ입니다.
det(U)가 −1이 될 수 있나요?
네. det A가 음수이면 U에 반사가 포함됩니다.
P는 왜 양의 준정부호인가요?
P = √(AᵀA)이고 AᵀA의 고윳값이 음수가 아니므로 그 제곱근도 음수가 아니기 때문입니다.
출처: Wolfram MathWorld, "Singular Value" · Coordinated Linear Algebra (University of Nebraska–Lincoln), §7.7 Singular Value Decomposition