홍라이프 계산기합동 표준편차 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 여러 집단의 분산이 같다고 보고, 두 개 이상 집단의 표준편차를 하나의 합동 표준편차로 합칩니다. 합동분산, 자유도, 전체 표본 수, 표준편차의 단순 평균, 가장 큰 표준편차와 가장 작은 표준편차의 비도 보여 줍니다. 두 표본 t검정, 분산분석, 코헨의 d, 메타분석에 씁니다.
계산 방법
s_p² = Σ(nᵢ − 1)sᵢ² ÷ Σ(nᵢ − 1), s_p = √(s_p²)
- nᵢ는 각 집단의 크기, sᵢ는 표본표준편차(분모 n − 1)입니다.
- 두 집단이면 s_p² = ((n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²) ÷ (n₁ + n₂ − 2)입니다.
- 자유도 = Σ(nᵢ − 1) = 전체 크기 − 집단 수
한 줄에 'n, 표준편차'를 하나씩 입력합니다.
원리
여러 집단의 참 분산이 같다면 각 표본분산은 그 값의 추정치이고, 이를 합치면 더 좋은 추정치가 됩니다. 표준편차가 아니라 분산을 평균하는 이유는 분산이 올바르게 더해지는 양이기 때문입니다. 각 집단에는 자유도 n − 1만큼 가중치를 주는데, 이것이 그 분산에 담긴 정보의 양입니다. 15명 집단이 3명 집단보다 퍼짐에 대해 더 많이 알려 줍니다. 결과는 각 집단 평균에서의 편차 제곱을 모두 모아 전체 자유도로 나눈 것과 같습니다.
예제 풀이
기본 집단은 (12, 4.2), (15, 5.1), (10, 3.8)입니다.
- (12 − 1) × 4.2² = 11 × 17.64 = 194.04
- (15 − 1) × 5.1² = 14 × 26.01 = 364.14
- (10 − 1) × 3.8² = 9 × 14.44 = 129.96
- 합동분산 = 688.14 ÷ 34 ≈ 20.2394
- 합동 표준편차 = √20.2394 ≈ 4.49882입니다. 전체 크기는 37, 단순 평균은 4.36667, 최대 ÷ 최소 표준편차 = 5.1 ÷ 3.8 ≈ 1.342입니다.
결과 해석
합동 표준편차는 집단 안의 전형적인 퍼짐입니다. 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 있으며 큰 집단 쪽으로 당겨집니다. 최대와 최소 표준편차의 비가 작으면 등분산 가정이 무리가 없고, 크면 가정이 의심스러우므로 합동하지 않는 웰치 t검정 같은 방법이 더 안전합니다. 이 예처럼 비가 1.3 정도면 보통 합동해도 큰 문제가 없다고 봅니다.
흔한 실수
- 분산이 아니라 표준편차를 그대로 평균하는 경우
- n − 1 대신 n으로 가중하는 경우
- 표준편차 대신 표준오차를 입력하는 경우
- 퍼짐이 크게 다른 집단을 합동하는 경우
자주 묻는 질문
합동 표준편차는 왜 표준편차 평균과 다른가요?
분산을 평균하고 집단 크기로 가중하기 때문입니다. 단순 평균은 모든 집단을 똑같이 취급합니다.
코헨의 d에도 쓰이나요?
네. 두 독립 집단의 코헨의 d는 평균 차이를 합동 표준편차로 나눕니다.
세 집단 이상도 합동할 수 있나요?
네. 같은 가중 공식이 적용되며, 일원분산분석의 집단 내 분산과 같습니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.5.3 Two-Sample t-Test for Equal Means