홍라이프 계산기i의 거듭제곱 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 허수단위 i의 거듭제곱 iⁿ을 음수를 포함한 모든 정수 지수에 대해 간단히 합니다. n ÷ 4의 나머지, 풀이 과정, 실수부와 허수부, 복소평면에서의 각, 합 i¹ + i² + … + iⁿ을 보여 줍니다. 대수, 미적분 준비, 복소수 과제에 씁니다.
계산 방법
- i는 i² = −1로 정의되므로 i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1입니다.
- n을 4로 나누어 n = 4q + r(나머지 r = 0, 1, 2, 3)로 씁니다. 음수 n도 마찬가지입니다.
- iⁿ = (i⁴)^q · i^r = i^r입니다.
- 복소평면에서의 각은 90° × r입니다.
- 연속한 네 거듭제곱의 합은 0이므로 누적 합은 r로만 정해집니다.
원리
i⁴ = (i²)² = (−1)² = 1이므로 네 번째 거듭제곱마다 1로 돌아오고, i, −1, −i, 1이 끝없이 반복됩니다. 기하적으로 i를 곱하는 것은 복소평면의 점을 시계 반대 방향으로 90°, 즉 4분의 1바퀴 돌리는 것입니다. 4분의 1바퀴를 네 번 돌면 한 바퀴이므로 주기가 4입니다. 음수 지수도 나머지를 0에서 3 사이로 잡으면 같은 규칙이 성립합니다. −1 = 4·(−1) + 3이므로 i⁻¹ = 1/i = −i입니다.
예제 풀이
기본값은 n = 35입니다.
- 35 ÷ 4 = 8, 나머지 3이므로 35 = 4 × 8 + 3입니다.
- i³⁵ = (i⁴)⁸ · i³ = 1 · i³입니다.
- i³ = i² · i = −i이므로 i³⁵ = −i입니다.
- 실수부 0, 허수부 −1, 각은 270°입니다.
- 합 i¹ + … + i³⁵는 8번의 완전한 주기가 0이 되고 i + (−1) + (−i) = −1이 남습니다.
결과 해석
결과는 항상 1, i, −1, −i 넷 중 하나입니다. 나머지가 어느 것인지 알려 주고, 각은 단위원 위의 위치를 보여 줍니다. 0°는 1, 90°는 i, 180°는 −1, 270°는 −i입니다. 다른 값이 나왔다면 줄이는 과정에서 실수한 것입니다. 지수가 아주 커도 마지막 두 자리만 보면 4로 나눈 나머지를 구할 수 있어 계산이 간단합니다. 예를 들어 2,026은 26을 4로 나눈 나머지 2를 보면 되므로 i²⁰²⁶ = −1입니다.
흔한 실수
- 나머지 대신 몫을 쓰는 경우
- 음수 지수에서 나머지를 음수로 잡는 경우(0~3이어야 합니다)
- i³을 i나 −1로 착각하는 경우(−i입니다)
- i⁰ = 1임을 잊는 경우
자주 묻는 질문
i의 100제곱은 얼마인가요?
100은 4로 나누어떨어지므로 i¹⁰⁰ = 1입니다.
i⁻¹은 얼마인가요?
1/i = −i이며, −1을 4로 나눈 나머지가 3이라는 규칙과도 맞습니다.
연속한 네 거듭제곱의 합은 왜 0인가요?
i + (−1) + (−i) + 1 = 0이고, 네 개씩의 묶음은 모두 이 패턴에 i의 거듭제곱을 곱한 것이기 때문입니다.
출처: OpenStax, College Algebra with Corequisite Support 2e (2021), §2.4 Complex Numbers