홍라이프 계산기각기둥 부피 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
각기둥은 합동이고 평행한 두 밑면을 평평한 옆면이 이어 주는 입체도형입니다. 밑면은 삼각형, 사각형, 육각형뿐 아니라 불규칙한 다각형이어도 됩니다. 이 계산기는 밑넓이와 밑면의 둘레를 직접 입력하므로 어떤 모양의 밑면에도 쓸 수 있어, 삼각 지붕이나 텐트, 육각 기둥, 수로, 보, ㄱ자 슬래브 같은 형태를 계산할 때 편리합니다.
계산 방법
- 부피: V = B × h입니다. B는 밑넓이, h는 두 밑면 사이의 거리인 높이입니다.
- 겉넓이: S = 2B + P × h입니다. P는 밑면의 둘레입니다.
옆넓이 P × h는 직사각형 옆면들의 합으로, 각 옆면은 밑면의 한 변을 가로로, h를 세로로 갖습니다. 길이 단위를 하나로 맞추면 B는 제곱 단위, 부피는 세제곱 단위가 됩니다.
원리
각기둥을 밑면과 똑같은 얇은 판을 쌓아 올린 것으로 생각해 보십시오. 판 하나의 넓이가 B이고 높이만큼 쌓이므로 부피는 B × h입니다. 이것이 카발리에리의 원리로, 모든 높이에서 단면의 넓이가 같은 두 입체는 부피가 같다는 내용입니다. 그래서 비스듬히 기운 빗각기둥도 밑면에 수직인 높이를 쓰면 부피가 똑같이 B × h입니다.
겉넓이는 직각기둥의 옆면을 펼쳐 보면 이해됩니다. 옆면들이 가로 P, 세로 h인 하나의 긴 직사각형이 되고, 여기에 두 밑면을 더하면 2B + Ph입니다.
예제 풀이
- 입력값: 밑넓이 B = 12, 높이 h = 7, 둘레 P = 14입니다. 가로 3, 세로 4인 직사각형이 정확히 이 넓이와 둘레를 갖습니다.
- 부피: 12 × 7 = 84입니다.
- 옆넓이: 14 × 7 = 98입니다.
- 두 밑면: 2 × 12 = 24입니다.
- 겉넓이: 24 + 98 = 122입니다.
| 밑넓이 | 부피 |
|---|---|
| 3 | 21 |
| 6 | 42 |
| 9 | 63 |
| 12 | 84 |
| 15 | 105 |
| 18 | 126 |
| 24 | 168 |
결과 해석
3 × 4 × 7 직육면체로 직접 계산해도 2(12 + 21 + 28) = 122로 같습니다. 부피는 높이에 정비례하므로 h가 두 배면 부피도 두 배이고, 겉넓이는 P × h만큼만 늘어납니다. 밑넓이가 같다면 둘레가 짧은, 곧 원에 가까운 밑면일수록 옆면 재료가 적게 듭니다.
흔한 실수
- 밑넓이 대신 밑면의 한 변 길이를 넣는 경우입니다. 삼각형이라면 ½ × 밑변 × 높이로 B를 먼저 구합니다.
- 각기둥의 높이와 삼각형 밑면의 높이를 혼동하는 경우입니다.
- 빗각기둥에서 비스듬한 모서리 길이를 h로 쓰는 경우입니다. 부피에는 수직 높이가 필요합니다.
- 빗각기둥에 S = 2B + Ph를 쓰는 경우입니다. 옆면이 평행사변형이라 이 식이 맞지 않습니다.
자주 묻는 질문
정육각형 밑면의 넓이는 어떻게 구하나요?
한 변이 s이면 B = (3√3/2) × s² ≈ 2.598 s²이고 둘레는 6s입니다.
원기둥도 각기둥 공식으로 구할 수 있나요?
부피는 V = πr² × h로 같은 원리를 따릅니다. 다만 옆면이 곡면이라 보통 별도의 입체로 다룹니다.
삼각기둥의 부피는 어떻게 구하나요?
밑넓이 ½ × 밑변 × 높이에 기둥의 길이를 곱합니다. 밑변 4, 높이 3, 길이 10이면 6 × 10 = 60입니다.
출처: B. Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum (1635), principle of indivisibles · Euclid, Elements, Book XI (solid geometry of parallelepipeds and prisms)