홍라이프 계산기두 사건의 확률 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
두 사건 A, B의 확률로 둘 다 일어날 확률, 적어도 하나가 일어날 확률, A가 일어나지 않을 확률, 하나만 일어날 확률, 둘 다 일어나지 않을 확률을 구하는 계산기입니다. "두 항공편 중 하나라도 지연될 확률", "두 기계가 모두 정상 작동할 확률" 같은 질문이나 확률의 기본 법칙을 익힐 때 유용합니다. P(A)와 P(B)는 0과 1 사이의 소수로 입력합니다.
계산 방법
다섯 가지 결과는 모두 A와 B가 독립이라고 가정합니다. 독립이란 한 사건이 일어났다는 사실이 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는다는 뜻입니다.
- A이고 B: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- A 또는 B(적어도 하나): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A)·P(B)
- A가 아님: P(Aᶜ) = 1 − P(A)
- 하나만: P(A) + P(B) − 2·P(A)·P(B)
- 둘 다 아님: (1 − P(A))·(1 − P(B))
원리
여사건의 법칙은 A가 일어나거나 일어나지 않거나 둘 중 하나이므로 두 확률의 합이 1이라는 데서 나옵니다. 덧셈정리 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)는 모든 사건에 성립합니다. P(A)와 P(B)를 더하면 겹치는 부분을 두 번 세므로 한 번 빼는 것입니다. 독립일 때는 이 겹치는 부분이 단순한 곱이 됩니다. "하나만"은 두 사건 모두에서 겹치는 부분을 빼므로 2·P(A)P(B)를 빼고, "둘 다 아님"은 "또는"의 여사건입니다.
예제 풀이
- 기본 입력: P(A) = 0.5, P(B) = 0.4
- A이고 B: 0.5 × 0.4 = 0.2
- A 또는 B: 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7
- A가 아님: 1 − 0.5 = 0.5
- 하나만: 0.5 + 0.4 − 2 × 0.2 = 0.5
- 둘 다 아님: 0.5 × 0.6 = 0.3
- 검산: 0.2 + 0.5 + 0.3 = 1
| P(A) | P(A 그리고 B), 독립 |
|---|---|
| 0.125 | 0.05 |
| 0.25 | 0.1 |
| 0.375 | 0.15 |
| 0.5 | 0.2 |
| 0.625 | 0.25 |
| 0.75 | 0.3 |
| 1 | 0.4 |
결과 해석
"둘 다", "A만", "B만", "둘 다 아님"의 네 경우를 더하면 항상 1이 되므로 검산에 활용할 수 있습니다. "적어도 하나"는 1 − P(둘 다 아님)으로 구하는 편이 쉽고, 여러 번 시행할 때도 같은 생각이 통합니다. 성공 확률이 p인 독립 시행을 k번 할 때 적어도 한 번 성공할 확률은 1 − (1 − p)ᵏ입니다.
흔한 실수
- 오늘 비와 내일 비처럼 서로 관련된 사건의 확률을 그냥 곱하는 경우
- 독립과 배반을 혼동하는 경우. 배반사건은 동시에 일어날 수 없으므로 P(A ∩ B) = 0이고, 한쪽 확률이 0이 아닌 한 독립이 아닙니다.
- 0.5 대신 50처럼 백분율을 입력하는 경우
자주 묻는 질문
독립이 아닐 때 P(A이고 B)는 어떻게 구하나요?
곱셈정리 P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)를 씁니다. P(B|A)는 A가 일어났을 때 B가 일어날 확률입니다.
P(A 또는 B)가 1보다 클 수 있나요?
없습니다. 1을 넘었다면 겹치는 부분을 빼지 않았거나 입력값이 잘못된 것입니다.
두 사건이 독립인지 어떻게 확인하나요?
자료에서 관찰한 P(A ∩ B)가 P(A)·P(B)와 비슷한지, 즉 P(B|A) ≈ P(B)인지 확인합니다.
출처: Sheldon M. Ross, A First Course in Probability, Pearson · William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley