홍라이프 계산기비례식 풀이 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
비례식은 두 비가 같다는 것을 나타낸 식으로, a : b = c : x 또는 a/b = c/x로 씁니다. 네 항 중 세 항을 알면 나머지 한 항이 정해집니다. 레시피 양을 늘리거나 줄일 때, 지도 축척으로 실제 거리를 구할 때, 일정한 환율로 돈을 바꿀 때, 단가가 같은 물건의 값을 어림할 때 쓰는 대표적인 방법입니다.
계산 방법
계산기는 다음 식으로 모르는 항을 구합니다.
x = b × c ÷ a
- a와 b는 이미 알고 있는 비입니다(예: 4인분에 밀가루 3컵).
- c는 a에 대응하는 새로운 양입니다(밀가루 9컵).
- x는 b에 대응하는 구하려는 값입니다(몇 인분인지).
a와 c, b와 x는 각각 같은 단위여야 하며, a는 0이 아니어야 합니다.
원리
비례식에서는 외항의 곱과 내항의 곱이 같습니다. a : b = c : x에서 바깥쪽 두 항 a와 x가 외항, 안쪽 두 항 b와 c가 내항이므로 a × x = b × c가 성립하고, 양변을 a로 나누면 x를 얻습니다. 다르게 보면 c가 a의 c/a배이므로 x도 b의 같은 배수, 곧 b × (c/a)가 되어야 합니다. 이 방법은 두 양이 정비례할 때만 성립합니다. 한쪽이 2배가 되면 다른 쪽도 반드시 2배가 되고, 한쪽이 0이면 다른 쪽도 0인 관계여야 합니다.
예제 풀이
- 입력값: a = 3, b = 4, c = 9이므로 비례식은 3 : 4 = 9 : x입니다.
- 외항의 곱과 내항의 곱이 같으므로 3 × x = 4 × 9 = 36입니다.
- 양변을 3으로 나누면 x = 36 ÷ 3입니다.
- 결과는 x = 12입니다.
- 검산: 3/4 = 0.75, 9/12 = 0.75로 두 비의 값이 같습니다.
| a | x |
|---|---|
| 0.75 | 48 |
| 1.5 | 24 |
| 2.25 | 16 |
| 3 | 12 |
| 3.75 | 9.6 |
| 4.5 | 8 |
| 6 | 6 |
결과 해석
x는 비의 값을 그대로 유지하게 하는 수입니다. c가 a보다 크면 x도 같은 배수만큼 b보다 커집니다. 이 예에서는 두 쪽 모두 3배가 되었습니다. 답이 이상해 보이면 a/b와 c/x를 각각 계산해 같은지 확인해 보십시오. 대부분 항을 잘못된 자리에 넣은 경우입니다.
흔한 실수
- 항의 순서를 바꾸어 3 : 4 = x : 9처럼 세우면 전혀 다른 문제를 풀게 됩니다.
- 반비례 관계에 그대로 적용하는 경우입니다. 일하는 사람이 늘수록 걸리는 시간이 줄어드는 문제는 x = a × b ÷ c로 풀어야 합니다.
- 시간과 분처럼 한 쌍 안에서 단위가 섞입니다.
- 중간값을 너무 일찍 반올림해 오차가 커집니다.
자주 묻는 질문
세 수만 알 때 나머지를 구하는 가장 빠른 방법은 무엇인가요?
대각선에 놓인 두 수를 곱하고 남은 한 수로 나누면 됩니다. 흔히 '삼수법'이라고도 부릅니다.
정비례인지 반비례인지 어떻게 구별하나요?
한 양을 2배로 했을 때 다른 양도 2배가 되면 정비례, 절반이 되면 반비례입니다. 거리가 일정할 때 속력과 걸린 시간은 반비례입니다.
소수나 음수도 넣을 수 있나요?
네. a가 0이 아니면 어떤 실수든 계산됩니다. 다만 일상 문제에서 음수는 의미가 없는 경우가 많습니다.
백분율 문제도 비례식으로 풀 수 있나요?
네. 80의 15%는 15 : 100 = x : 80을 풀어 x = 12로 구합니다.
출처: Euclid, Elements, Book V(비와 비례의 정의), Book VI · Euclid, Elements, Book VII 명제 19(비례하는 수에서 외항의 곱과 내항의 곱)