비율의 신뢰구간 (왈드·윌슨)

비율의 신뢰구간 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

n번의 시행에서 '성공'이 k번 관찰되었을 때(예: 고객 120명 중 45명 찬성), 표본비율 p̂ = k/n은 실제 비율의 추정값입니다. 신뢰구간은 실제 비율이 p̂에서 얼마나 떨어져 있을 수 있는지를 보여 줍니다. 이 계산기는 교과서에 흔히 나오는 왈드 구간과, 통계학자들이 실무에 더 권하는 윌슨 점수 구간을 함께 제공합니다.

계산 방법

• 표본비율: p̂ = k ÷ n
• 임곗값: 표준정규분포의 z*(95%에서 1.96)
• 왈드 구간: p̂ ± z* × √[p̂(1 − p̂) ÷ n]
• 윌슨 구간: 중심 = (p̂ + z*²/2n) ÷ (1 + z*²/n), 반폭 = z* × √[p̂(1 − p̂)/n + z*²/4n²] ÷ (1 + z*²/n)이고 구간은 중심 ± 반폭입니다.

결과는 0과 1 사이의 비율이며, 100을 곱하면 백분율이 됩니다.

원리

왈드 구간은 추정값 p̂를 표준오차 식에 그대로 넣기 때문에 n이 작거나 p̂가 0이나 1에 가까우면 잘 맞지 않습니다. 구간이 0 아래나 1 위로 나가기도 하고, 실제 포함 확률이 95%에 크게 못 미치는 경우가 많습니다. 윌슨(1927)은 '자료가 주어졌을 때 z검정으로 기각되지 않는 p는 어디까지인가'를 묻고 그 부등식을 p에 대해 풀었습니다. 그 결과 구간이 0.5 쪽으로 약간 당겨지고 언제나 0~1 안에 머뭅니다. 브라운·차이·다스굽타(2001)는 윌슨 구간의 포함 확률이 명목 수준에 훨씬 가깝다는 것을 보였습니다.

예제 풀이

1. 입력값은 k = 45, n = 120, 신뢰수준 95%이며 z* = 1.959964입니다.
2. p̂ = 45 ÷ 120 = 0.375입니다.
3. 왈드: SE = √(0.375 × 0.625 ÷ 120) = 0.0441942, 오차한계 = 0.0866190이므로 구간은 0.288381011 – 0.461618989입니다.
4. 윌슨: z*²/n = 0.0320122이므로 분모는 1.0320122, 중심은 (0.375 + 0.0160061) ÷ 1.0320122 = 0.3788774입니다.
5. 반폭 = 1.959964 × √(0.00195313 + 0.00006669) ÷ 1.0320122 = 0.0853531입니다.
6. 윌슨 구간은 0.2935242979 – 0.4642304937입니다.

결과 해석

95% 신뢰수준에서 실제 비율은 대략 29%에서 46% 사이입니다. 윌슨 구간은 왈드보다 50% 쪽으로 조금 이동해 있습니다. n = 120, p̂ = 0.375에서는 두 구간이 비슷하지만, 표본이 작거나 비율이 0%나 100%에 가까우면 크게 달라집니다. 구간 폭은 1/√n에 비례하므로 좁히려면 표본을 늘려야 합니다.

흔한 실수

• k가 0이거나 n이 아주 작을 때 왈드 구간을 쓰는 경우: 폭이 0이거나 0 아래로 나갑니다.
• 재방문 고객, 집락 표본처럼 서로 독립이 아닌 응답을 n개의 독립 시행으로 보는 경우

자주 묻는 질문

성공이 0번이면 어떻게 하나요?

왈드는 0~0이 되어 쓸모가 없지만 윌슨은 합리적인 상한을 줍니다. n번 중 0번이면 95% 상한을 약 3/n으로 어림하는 '3의 규칙'도 있습니다.

정확한 구간도 있나요?

이항분포에 기반한 클로퍼–피어슨 구간이 있으며, 보수적이어서 보통 윌슨보다 넓습니다.

어떤 구간을 보고해야 하나요?

대부분 윌슨이 무난한 기본값이며, 어떤 방법을 썼는지 함께 밝히시면 됩니다.

출처: Wilson, E. B. (1927). Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association, 22, 209–212. · Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001). Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science, 16(2), 101–133.