홍라이프 계산기피타고라스 수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 유클리드 공식으로 피타고라스 수(세 변이 정수인 직각삼각형)를 만들거나, 세 정수가 피타고라스 수인지 확인합니다. 원시 피타고라스 수인지, 유클리드 매개변수, 직각삼각형의 둘레·넓이·내접원 반지름도 알려 줍니다. 정수론, 기하 과제, 퍼즐 만들기, 정수 길이로 직각을 잡을 때 씁니다.
계산 방법
- 생성 모드: 정수 m > n > 0과 배수 k에 대해 a = k(m² − n²), b = k·2mn, c = k(m² + n²)
- k = 1이고 m, n이 서로소이며 둘 중 하나가 짝수일 때 원시(공약수 없음)입니다.
- 확인 모드: 세 수를 정렬해 a² + b² = c²인지 보고, 최대공약수로 나눈 뒤 홀수인 변 a로 m = √((c + a)/2), n = √((c − a)/2)를 구합니다.
- 둘레 = a + b + c, 넓이 = ab ÷ 2, 내접원 반지름 = (a + b − c) ÷ 2
원리
유클리드 공식은 대수로 확인됩니다. (m² − n²)² + (2mn)² = m⁴ − 2m²n² + n⁴ + 4m²n² = (m² + n²)²이므로 m > n이면 항상 성립합니다. 모든 원시 피타고라스 수는 서로소이고 홀짝이 다른 m, n 한 쌍에서 정확히 하나씩 나오며, 나머지 피타고라스 수는 모두 원시 수의 정수배입니다. 원시 피타고라스 수에서는 두 직각변 중 하나가 짝수, 하나가 홀수이고 빗변은 항상 홀수입니다. 직각삼각형의 내접원 반지름 (a + b − c)/2는 피타고라스 수에서 항상 정수입니다.
예제 풀이
기본값은 생성 모드, m = 4, n = 1, k = 1입니다.
- a = 4² − 1² = 15, b = 2 × 4 × 1 = 8, c = 4² + 1² = 17
- 정렬하면 (8, 15, 17)이고, 64 + 225 = 289 = 17²입니다.
- gcd(4, 1) = 1이고 4가 짝수이므로 원시 피타고라스 수입니다.
- 둘레 = 40, 넓이 = 8 × 15 ÷ 2 = 60
- 내접원 반지름 = (8 + 15 − 17) ÷ 2 = 3
결과 해석
'피타고라스 수입니다'는 세 길이로 정확한 직각삼각형을 만들 수 있다는 뜻입니다. '원시'는 더 작은 피타고라스 수를 확대한 것이 아니라는 뜻으로, (6, 8, 10)은 (3, 4, 5)의 2배입니다. 유클리드 매개변수로 같은 수를 다시 만들거나 관련된 수를 찾을 수 있습니다. 확인 모드에서 '아니요'가 나오면 그 정수 변을 가진 직각삼각형은 없습니다.
흔한 실수
- m ≤ n으로 넣어 변이 0이나 음수가 되는 경우
- m과 n을 모두 홀수로 고르는 경우(성립은 하지만 원시가 아닙니다)
- 가장 큰 수가 빗변이 아니라고 생각하는 경우
- (5, 12, 13)과 (10, 24, 26)이 무관하다고 생각하는 경우(뒤의 것은 2배입니다)
자주 묻는 질문
가장 작은 피타고라스 수는 무엇인가요?
원시 수로는 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25)가 앞쪽에 있습니다.
피타고라스 수는 무한히 많나요?
네. m > n인 쌍마다 하나씩 나오므로 무한히 많고, 원시 수도 무한히 많습니다.
세 수가 모두 홀수일 수 있나요?
없습니다. 두 직각변이 모두 홀수면 a² + b²를 4로 나눈 나머지가 2인데, 그런 제곱수는 없습니다.
출처: Weisstein, E. W., "Pythagorean Triple", Wolfram MathWorld