홍라이프 계산기QR 분해 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 열이 일차독립인 행렬을 A = Q·R로 분해합니다. Q는 정규직교 열을 가진 행렬이고, R은 대각성분이 양수인 상삼각행렬입니다. 크기와 정사각행렬의 |det A|도 보여 줍니다. 선형대수 수업, 안정적인 최소제곱 계산, 고윳값 알고리즘의 기본 단계로 씁니다.
계산 방법
A의 열 a₁, …, aₙ에 그람–슈미트 과정을 적용합니다.
- q₁ = a₁ ÷ ‖a₁‖
- 다음 열마다 앞서 만든 q들로의 정사영을 빼고 길이로 나눕니다. q_k = (a_k − Σ (q_j·a_k) q_j) ÷ ‖…‖
- R = QᵀA이므로 j ≤ k에서 r_jk = q_j · a_k, 대각선 아래는 0입니다.
얇은(축약) 형태로, Q는 m × n, R은 n × n입니다. 수치 정확도를 위해 정사영을 한 번 더 반복합니다. 정사각행렬이면 |det A|는 R의 대각성분의 곱입니다.
원리
그람–슈미트 과정은 일차독립인 벡터들을 하나씩 같은 공간을 생성하는 정규직교 벡터로 바꿉니다. 원래 각 열은 자기보다 앞에 나온 q들만으로 다시 만들 수 있으므로 R이 상삼각행렬이 됩니다. 열이 정규직교이므로 QᵀQ = I이고, 최소제곱 의미로 Ax = b를 푸는 일은 Rx = Qᵀb를 뒤에서부터 대입해 푸는 일로 줄어듭니다. Q는 길이를 보존하므로 AᵀA를 만들 때 생기는 정확도 손실을 피할 수 있습니다.
예제 풀이
기본 행렬 A = [12 −51 4; 6 167 −68; −4 24 −41]입니다.
- ‖a₁‖ = √(144 + 36 + 16) = 14이므로 q₁ = (6/7, 3/7, −2/7) ≈ (0.857143, 0.428571, −0.285714)입니다.
- r₁₂ = q₁·a₂ = 21, a₂ − 21q₁ = (−69, 158, 30)의 길이는 175이므로 q₂ ≈ (−0.394286, 0.902857, 0.171429)입니다.
- r₁₃ = −14, r₂₃ = −70이고 a₃에서 남은 부분의 길이는 35이므로 q₃ ≈ (−0.331429, 0.0342857, −0.942857)입니다.
- R = [14 21 −14; 0 175 −70; 0 0 35]
- |det A| = 14 × 175 × 35 = 85,750
결과 해석
R의 대각성분은 각 열에서 앞의 열들과 비교해 새로운 부분의 길이입니다. 대각성분이 아주 작으면 그 열이 앞의 열들의 결합에 가깝다는 뜻입니다. QᵀQ를 곱해 단위행렬이 나오는지 확인할 수 있습니다. R의 대각성분을 양수로 정하면 분해는 하나로 정해집니다.
흔한 실수
- 열이 일차종속인 행렬을 쓰는 경우(영벡터가 생깁니다)
- 각 q를 정규화하지 않는 경우
- 얇은 형태만 주는데 정사각 Q 전체를 기대하는 경우
- 다른 프로그램과 부호가 다르다고 오류로 보는 경우(음수 대각을 허용하는 도구도 있습니다)
자주 묻는 질문
QR 분해는 어디에 쓰나요?
안정적인 최소제곱 풀이, QR 고윳값 알고리즘, 정규직교기저 만들기에 씁니다.
QR 분해는 유일한가요?
열이 일차독립이고 R의 대각성분을 양수로 정하면 유일합니다.
그람–슈미트 과정과는 어떤 관계인가요?
Q에는 그람–슈미트로 만든 벡터가, R에는 그때 쓴 계수가 들어 있습니다.
출처: Coordinated Linear Algebra (University of Nebraska–Lincoln), §7.6 QR Factorization and Least Square Approximations