홍라이프 계산기이차방정식 풀이 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이차방정식은 a ≠ 0일 때 ax² + bx + c = 0 꼴의 방정식입니다. 그래프는 포물선이고, 근은 포물선이 x축과 만나는 점의 x좌표입니다. 물체를 던졌을 때의 운동, 넓이와 최댓값·최솟값 문제, 손익분기 계산 등 여러 곳에 쓰입니다. 이 계산기는 두 근(실근 또는 허근), 판별식, 꼭짓점, 근의 종류를 한 번에 보여 줍니다.
계산 방법
- 판별식: D = b² − 4ac
- 근의 공식: x = (−b ± √D) ÷ (2a). D < 0이면 x = −b/(2a) ± (√(−D) ÷ 2|a|)i인 허근입니다.
- 꼭짓점: (−b/(2a), c − b²/(4a)), 즉 포물선 y = ax² + bx + c가 꺾이는 점입니다.
- 근의 종류: D > 0이면 서로 다른 두 실근, D = 0이면 중근, D < 0이면 서로 다른 두 허근(켤레복소수)입니다.
a = 0을 넣으면 일차방정식이 되므로 x = −c/b를 보여 줍니다.
원리
근의 공식은 완전제곱식으로 바꾸는 과정에서 나옵니다. 양변을 a로 나누면 x² + (b/a)x = −c/a이고, 양변에 (b/2a)²을 더하면 (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/(4a²)이 됩니다. 양변의 제곱근을 구하면 x + b/2a = ±√D/(2a)이므로 근의 공식이 얻어집니다. 같은 식에서 제곱 부분이 가장 작아지는 x = −b/2a가 꼭짓점이라는 것도 알 수 있습니다. 판별식은 제곱근 안의 값이므로 그 부호가 실근이 있는지를 결정합니다.
예제 풀이
- 입력값: a = 1, b = −3, c = 2, 즉 x² − 3x + 2 = 0입니다.
- D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1입니다.
- √D = 1이므로 x = (3 ± 1) ÷ 2, 근은 2와 1입니다.
- 꼭짓점의 x좌표는 3 ÷ 2 = 1.5, y좌표는 2 − 9 ÷ 4 = −0.25이므로 꼭짓점은 (1.5, −0.25)입니다.
- D > 0이므로 서로 다른 두 실근입니다. 확인: (x − 1)(x − 2) = x² − 3x + 2입니다.
결과 해석
근과 계수의 관계에 따라 두 근의 합은 −b/a, 곱은 c/a입니다. 예제에서는 2 + 1 = 3, 2 × 1 = 2로 맞습니다. a > 0이면 포물선이 아래로 볼록해 꼭짓점이 최솟값이고, a < 0이면 위로 볼록해 꼭짓점이 최댓값입니다. 판별식이 0에 가까우면 두 근이 매우 가까워 계수의 작은 변화에도 근이 크게 달라질 수 있습니다.
흔한 실수
- b의 부호를 빠뜨리는 경우: b = −3이면 −b는 +3입니다.
- 모든 항을 한쪽으로 옮기지 않은 채 a, b, c를 읽는 경우
- 분자 전체(−b ± √D)가 아니라 √D만 2a로 나누는 경우
- 허근을 '해 없음'으로 처리하는 경우(실수 범위에서만 해가 없습니다)
자주 묻는 질문
판별식이 음수이면 어떻게 되나요?
실근이 없고 포물선이 x축과 만나지 않습니다. 근은 p ± qi 꼴의 켤레복소수입니다.
인수분해로 풀어도 되나요?
근이 유리수이면 곱이 ac, 합이 b인 두 수를 찾아 인수분해할 수 있습니다. 근의 공식은 어떤 경우에도 쓸 수 있습니다.
대칭축은 어떻게 구하나요?
꼭짓점을 지나는 직선 x = −b/(2a)이며, 두 근의 정확히 가운데에 있습니다.
출처: M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, §3.8.1 · 교육부, 수학과 교육과정(고등학교 '이차방정식과 이차함수')