홍라이프 계산기이차·지수 회귀 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
점들이 직선이 아니라 곡선을 그릴 때 흔히 쓰는 모형이 포물선 y = ax² + bx + c와 지수곡선 y = A·e^(bx)입니다. 이 계산기는 두 모형을 모두 최소제곱법으로 맞춰 비교할 수 있게 해 줍니다. 던진 물체나 제동 거리 자료에는 이차 모형을, 복리 성장이나 세균 수, 가입자 증가 같은 성장·감소 과정에는 지수 모형을 주로 씁니다.
계산 방법
- 이차 회귀: 3 × 3 정규방정식 [n, Σx, Σx²; Σx, Σx², Σx³; Σx², Σx³, Σx⁴] × [c; b; a] = [Σy; Σxy; Σx²y]를 가우스–조르당 소거법으로 풉니다.
- 지수 회귀: y에 자연로그를 취해 ln y를 x에 대해 선형회귀하면 기울기 b와 절편 ln A가 나오고, A = e^(ln A)입니다. 모든 y가 양수여야 합니다.
- 한 단계당 증가율 = (e^b − 1) × 100%로, x가 1 늘 때 y가 변하는 비율입니다.
원리
두 모형은 모두 '모수에 대해 선형'입니다. 포물선은 x²라는 설명변수를 하나 더 넣은 직선 모형이므로 최소제곱 조건이 여전히 연립일차방정식이 됩니다. 지수곡선은 로그를 취하면 ln y = ln A + bx라는 직선이 됩니다. 다만 로그 방식은 ln y의 오차, 즉 상대오차의 제곱합을 최소화하므로 직접 비선형으로 맞출 때보다 작은 값에 더 큰 비중을 둡니다.
예제 풀이
- X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, Y = 2.1, 3.9, 8.2, 15.8, 32.5, 63입니다(n = 6).
- 합계는 Σx = 21, Σx² = 91, Σx³ = 441, Σx⁴ = 2275, Σy = 125.5, Σxy = 638.2, Σx²y = 3424.8입니다.
- 정규방정식을 풀면 y = 3.448214286x² − 12.76892857x + 13.31입니다.
- ln y의 평균은 2.43191이고 Σ(x − x̄)(ln y − 평균) = 12.01133, Σ(x − x̄)² = 17.5이므로 b = 0.6863615229입니다.
- ln A = 2.43191 − 0.68636 × 3.5 = 0.02964, A = 1.030083779이므로 y = 1.030083779 · e^(0.6863615229x)입니다.
- 한 단계당 증가율은 (e^0.68636 − 1) × 100 = 98.65%입니다.
결과 해석
Y가 한 단계마다 거의 두 배(98.65%)가 되므로 두 배가 되는 데 ln 2 ÷ b ≈ 1.01단계가 걸립니다. 이차식도 주어진 범위에는 잘 맞지만, 일차항이 음수여서 x = 2 근처에서 내려갔다가 다시 올라가는 모양이 되어 성장 과정과는 어울리지 않습니다. 계산기는 R²도 보여 주는데, 이차식은 y 기준 0.9887, 지수식은 ln y 기준 0.9996입니다. 둘 다 높고 척도가 서로 달라 대략적인 참고만 됩니다. 오차가 작은 모형만 고르기보다 현상의 원리에 맞고 예측이 합리적인 모형을 고르셔야 합니다.
흔한 실수
- 지수 회귀에 0이나 음수 y를 넣는 경우(로그를 취할 수 없습니다)
- 포물선을 범위 밖으로 외삽하는 경우: 결국 엉뚱한 방향으로 꺾입니다.
- y 척도와 ln y 척도에서 구한 R²를 그대로 비교하는 경우
자주 묻는 질문
엑셀의 지수 추세선과 결과가 같나요?
엑셀도 ln y를 선형회귀하는 방식이므로 같아야 하며, 차이가 나면 대개 입력 오류입니다.
y = A·Bˣ 꼴로 바꾸려면 어떻게 하나요?
B = e^b입니다. 여기서는 B ≈ 1.9865이므로 y ≈ 1.03 × 1.9865ˣ입니다.
이차 회귀에는 점이 몇 개 필요한가요?
세 점이면 포물선이 정확히 정해지므로, 적합도를 판단할 여지를 남기려고 이 계산기는 4개 이상을 요구합니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. · Draper, N. R. & Smith, H. (1998). Applied Regression Analysis (3rd ed.). Wiley.