홍라이프 계산기사각형 넓이 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 볼록사각형의 넓이를 네 변과 마주 보는 두 각(브레트슈나이더 공식) 또는 두 대각선과 그 사잇각으로 구합니다. 둘레, 반둘레, 네 변으로 만들 수 있는 최대 넓이도 함께 보여 줍니다. 직사각형이 아닌 땅, 방, 지붕, 화단, 기하 문제에 씁니다.
계산 방법
- 브레트슈나이더: K = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd·cos²((α + γ)/2)), s = (a + b + c + d)/2, α와 γ는 마주 보는 두 각
- 같은 변으로 가능한 최대 넓이(원에 내접, α + γ = 180°): 브라마굽타 공식 K = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d))
- 대각선: K = ½·p·q·sin θ
변은 도형을 따라 차례대로 입력하며, 고른 방법의 입력값만 사용합니다.
원리
네 변의 길이만으로는 사각형이 정해지지 않습니다. 경첩이 달린 틀처럼 모양이 휘어질 수 있고, 그때마다 넓이가 바뀝니다. 마주 보는 두 각의 합이라는 정보가 하나 더 있으면 모양이 정해지며, 브레트슈나이더 공식은 이를 변과 결합합니다. 마주 보는 각의 합이 180°이면 코사인 항이 0이 되는데, 이때 네 꼭짓점이 한 원 위에 있고 넓이가 가장 큽니다. 이것이 브라마굽타 공식입니다. 대각선 공식은 대각선의 교점을 중심으로 사각형을 네 삼각형으로 나누어 얻습니다.
예제 풀이
기본값 a = 5, b = 6, c = 7, d = 8, α = 70°, γ = 80°입니다.
- s = (5 + 6 + 7 + 8) ÷ 2 = 13
- (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) = 8 × 7 × 6 × 5 = 1,680
- abcd = 1,680, (α + γ)/2 = 75°, cos² 75° ≈ 0.066987이므로 보정값은 약 112.54입니다.
- K = √(1,680 − 112.54) ≈ 39.5912
- 둘레는 26, 가능한 최대 넓이는 √1,680 ≈ 40.9878입니다.
| 변 b | 넓이 |
|---|---|
| 1.5 | 22.8114 |
| 3 | 28.5293 |
| 4.5 | 34.1947 |
| 6 | 39.5912 |
| 7.5 | 44.5184 |
| 9 | 48.7686 |
| 12 | 54.2487 |
결과 해석
넓이의 단위는 변 길이 단위의 제곱입니다. 미터로 넣으면 제곱미터가 됩니다. 넓이가 원에 내접할 때의 최대값에 가까울수록 꼭짓점이 원 위에 놓인 모양에 가깝습니다. 네 변만 알면 답이 하나로 정해지지 않으므로 각이나 대각선이 필요합니다. 평(坪)으로 바꾸려면 제곱미터 값을 약 3.3058로 나누면 됩니다.
흔한 실수
- 변을 도형 둘레 순서대로 넣지 않는 경우
- 마주 보는 각 대신 이웃한 두 각을 쓰는 경우
- 네 변만으로 브라마굽타 값을 넓이로 쓰는 경우
- 도와 라디안을 섞는 경우
- 오목사각형에 공식을 쓰는 경우
자주 묻는 질문
네 변만으로 사각형 넓이를 구할 수 있나요?
없습니다. 모양이 휘어질 수 있으므로 각이나 대각선이 하나 더 필요합니다.
원에 내접하는 사각형이란 무엇인가요?
네 꼭짓점이 한 원 위에 있는 사각형으로, 마주 보는 각의 합이 180°입니다.
직사각형에도 브레트슈나이더 공식이 맞나요?
네. 모든 각이 90°라 코사인 항이 0이 되고 결과는 가로 × 세로입니다.
출처: Weisstein, E. W., "Bretschneider's Formula", Wolfram MathWorld