홍라이프 계산기사분위수·IQR 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
사분위수는 크기순으로 정렬한 자료를 네 부분으로 나누는 값입니다. 여기서 사분위범위(IQR), 상자그림을 그리는 다섯 수치 요약, 이상값을 가려내는 1.5 × IQR 경계가 나옵니다. 소득, 대기 시간, 시험 점수처럼 한쪽으로 치우친 자료는 평균과 표준편차보다 사분위수로 설명하는 편이 정확합니다.
계산 방법
- 자료 n개를 작은 값부터 정렬합니다.
- 비율 p(Q1은 0.25, 중앙값은 0.5, Q3는 0.75)에 대해 위치 h = (n − 1) × p + 1을 구합니다.
- h가 두 값 사이에 있으면 선형 보간합니다. Q = x₍⌊h⌋₎ + (h − ⌊h⌋) × (다음 값 − 그 값)
- IQR = Q3 − Q1, 아래 경계 = Q1 − 1.5 × IQR, 위 경계 = Q3 + 1.5 × IQR입니다.
- 다섯 수치 요약은 최솟값, Q1, 중앙값, Q3, 최댓값입니다.
엑셀 QUARTILE.INC, R의 기본 방식(type 7)과 같으며, 결과의 단위는 입력 자료의 단위와 같습니다.
원리
Q1과 Q3 사이에는 자료의 가운데 50%가 들어 있으므로, IQR은 양 끝 극단값에 흔들리지 않고 퍼짐을 나타냅니다. 최댓값 25를 250으로 바꿔도 IQR은 그대로입니다. 1.5 × IQR 규칙은 존 튜키가 상자그림에서 제안한 간편한 선별 기준으로, 정규분포라면 경계가 평균에서 약 ±2.7 표준편차에 놓여 우연히 바깥에 나오는 값은 약 0.7%에 불과합니다.
예제 풀이
- 자료 12, 15, 11, 19, 22, 15, 18, 25, 14, 16(n = 10)을 정렬하면 11, 12, 14, 15, 15, 16, 18, 19, 22, 25입니다.
- Q1: h = 9 × 0.25 + 1 = 3.25이므로 14 + 0.25 × (15 − 14) = 14.25입니다.
- 중앙값: h = 5.5이므로 (15 + 16) ÷ 2 = 15.5입니다.
- Q3: h = 7.75이므로 18 + 0.75 × (19 − 18) = 18.75입니다.
- IQR = 18.75 − 14.25 = 4.5, 경계는 14.25 − 6.75 = 7.5, 18.75 + 6.75 = 25.5입니다.
- 경계를 벗어난 값이 없으므로 이상값은 없음이고, 다섯 수치 요약은 11, 14.25, 15.5, 18.75, 25입니다.
결과 해석
중앙값과 IQR을 함께 보면 자료의 중심과 가운데 절반의 폭을 알 수 있습니다. 중앙값이 Q1 쪽에 가까우면(여기서는 Q1과 1.25, Q3와 3.25 차이) 오른쪽으로 꼬리가 긴 분포입니다. 경계 밖의 값은 원인을 확인해야 할 후보일 뿐, 곧바로 오류라는 뜻은 아닙니다. 3 × IQR을 넘는 값은 극단 이상값으로 따로 구분하기도 합니다.
흔한 실수
- 프로그램마다 사분위수 계산 방식이 달라 작은 표본에서 값이 다르다는 점을 놓치는 경우
- 이상값으로 표시된 값을 이유도 확인하지 않고 모두 지우는 경우
- 손으로 계산할 때 정렬하지 않고 위치를 읽는 경우
자주 묻는 질문
교과서의 Q1과 값이 다른 이유는 무엇인가요?
교과서에서는 아래쪽 절반의 중앙값(여기서는 14)을 Q1으로 쓰는 경우가 많습니다. 둘 다 쓰이는 관례이니 한 가지를 일관되게 사용하시면 됩니다.
IQR과 범위는 같은 것인가요?
아닙니다. 범위는 최댓값 − 최솟값(여기서는 14)으로 두 극단값에만 좌우되고, IQR은 가운데 절반만 봅니다.
상자그림에서 수염은 어디까지 그리나요?
상자는 Q1부터 Q3까지, 수염은 경계 안에 있는 가장 바깥 값까지 그리고, 경계 밖의 값은 점으로 따로 표시합니다.
출처: Tukey, J. W. (1977). Exploratory Data Analysis. Addison-Wesley. · Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.