홍라이프 계산기유리수·무리수 판별 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 수가 유리수인지 무리수인지 판별합니다. 정수, 분수, 유한소수, 순환소수, ᵏ√(p/q) 꼴의 거듭제곱근을 다룹니다. 유리수이면 정확한 분수를 보여 주고, 모든 경우에 소수 값과 소수의 종류를 알려 줍니다. 대수와 수 감각 과제에 씁니다.
계산 방법
- 정수, 분수, 유한소수는 유리수이며, 소수는 기약분수로 바꿉니다.
- 순환소수도 유리수입니다. x = 0.1666…이면 100x − 10x = 15이므로 x = 15/90 = 1/6입니다.
- 기약분수 p/q에 대해 ᵏ√(p/q)는 p와 q가 모두 완전 k제곱수일 때만 유리수이고, 아니면 무리수입니다.
- 기약분수는 분모의 소인수가 2와 5뿐일 때만 유한소수가 됩니다.
원리
유리수는 정수 p와 0이 아닌 정수 q로 p/q라고 쓸 수 있는 수입니다. p를 q로 나누는 긴 나눗셈에서 나올 수 있는 나머지는 유한하므로, 숫자는 끝나거나 반복되기 시작할 수밖에 없습니다. 반대로 끝나거나 반복되는 소수는 모두 분수로 되돌릴 수 있습니다. 무리수는 소수가 끝나지도 반복되지도 않는 수입니다. 거듭제곱근의 경우 ᵏ√n이 기약분수 a/b라면 n = aᵏ/bᵏ이 되어 n이 완전 k제곱수여야 하므로, √2, √50, ∛10은 무리수입니다.
예제 풀이
기본값은 거듭제곱근, 지수 k = 2, 근호 안의 수 50입니다.
- 50 = 50/1이 기약분수입니다.
- 50 = 2 × 5²으로 2의 지수가 홀수라 완전제곱수가 아닙니다. 분모 1은 완전제곱수입니다.
- 50이 완전제곱수가 아니므로 √50은 무리수입니다.
- √50 = 5√2 ≈ 7.071067812
- 소수가 끝나지도 반복되지도 않으므로 분수 p/q로 나타낼 수 없습니다.
결과 해석
'유리수'에는 정확한 분수가 함께 나오므로 반올림한 소수 대신 그 분수를 쓰십시오. '무리수'는 어떤 소수로 써도 근삿값이라는 뜻입니다. 끝까지 입력한 소수는 끝나므로 항상 유리수이며, 무리수는 거듭제곱근이나 π, e, 황금비 같은 특별한 상수에서만 나타납니다. 유리수의 소수가 유한소수인지 순환소수인지는 기약분수의 분모로 알 수 있습니다. 예를 들어 3/8은 분모가 2³뿐이라 0.375로 끝나고, 1/6은 분모에 3이 있어 0.1666…으로 순환합니다.
흔한 실수
- 계산기 화면의 긴 소수를 무리수로 보는 경우(화면에서 잘린 것뿐입니다)
- 22/7을 π와 같다고 보는 경우(유리수 근삿값입니다)
- 모든 거듭제곱근이 무리수라고 생각하는 경우(√(9/4) = 3/2는 유리수입니다)
- 두 무리수의 합은 항상 무리수라고 생각하는 경우(√2 + (−√2) = 0)
자주 묻는 질문
0은 유리수인가요?
네. 0 = 0/1입니다.
3.14159라고 쓰면 π는 유리수인가요?
3.14159는 유리수이지만 π의 근삿값일 뿐이고, π는 무리수입니다.
0.999…는 1과 같은가요?
네. x = 0.999…라 하면 10x − x = 9이므로 x = 1입니다.
출처: OpenStax, Prealgebra 2e (2020), §7.1 Rational and Irrational Numbers