홍라이프 계산기유리근 정리 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정수 계수 다항식에 유리근 정리를 적용합니다. 가능한 모든 유리근 후보 ±p/q를 나열하고 하나씩 정확히 대입해 본 뒤, 실제 유리근과 남는 인수를 알려 줍니다. 대수 과제, 삼차·사차식 인수분해, 남은 식에 근의 공식을 쓰기 전 첫 단계로 씁니다.
계산 방법
P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀에 대해 다음 순서로 계산합니다.
- a₀ = 0이면 먼저 x를 묶어 내고, 0을 근으로 둡니다.
- 상수항 a₀의 약수 p와 최고차 계수 aₙ의 약수 q를 나열합니다.
- 기약분수 ±p/q 후보를 모두 만듭니다.
- P(p/q) = 0이면 근입니다. 조립제법의 나머지가 0인 것과 같습니다.
- 찾은 근을 중복된 횟수만큼 나누어 남는 인수를 구합니다.
정수 연산으로 확인하므로 반올림 때문에 근을 놓치거나 잘못 만들지 않습니다.
원리
기약분수 p/q가 근이라고 합시다. P(p/q) = 0에 qⁿ을 곱하면 aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + … + a₀qⁿ = 0입니다. a₀qⁿ을 뺀 모든 항에 p가 들어 있으므로 p는 a₀qⁿ을 나누고, p와 q가 서로소이므로 p는 a₀를 나눕니다. 같은 방식으로 aₙpⁿ을 뺀 모든 항에 q가 있으므로 q는 aₙ을 나눕니다. 그래서 후보가 유한해지고, 어려운 탐색이 짧은 점검표가 됩니다.
예제 풀이
기본값은 P(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6입니다.
- 상수 6의 약수 p = 1, 2, 3, 6, 최고차 계수 2의 약수 q = 1, 2
- 후보는 ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2로 모두 12개입니다.
- P(3) = 54 − 27 − 33 + 6 = 0, P(−2) = −16 − 12 + 22 + 6 = 0, P(1/2) = 0.25 − 0.75 − 5.5 + 6 = 0
- 유리근은 −2, 1/2, 3입니다.
- P(x) = (x + 2)(2x − 1)(x − 3)이므로 남는 인수는 없습니다.
결과 해석
유리근은 일차인수를 줍니다. 근 p/q는 인수 (qx − p)에 해당합니다. 남는 인수가 표시되면 그 근은 무리수나 허수이며, 이차식이 남았다면 근의 공식을 쓰면 됩니다. 어떤 후보도 맞지 않으면 유리근이 없다는 뜻이지만, 실근은 여전히 있을 수 있습니다. 후보가 많을 때는 그래프로 근의 대략적인 위치를 먼저 보고 가까운 후보부터 확인하면 시간을 줄일 수 있습니다.
흔한 실수
- 음수 후보를 빠뜨리는 경우
- p와 q를 바꾸는 경우(p는 상수항, q는 최고차 계수에서 나옵니다)
- 분수나 소수 계수 다항식에 분모를 없애지 않고 적용하는 경우
- 근 하나를 찾고 나누지 않은 채 멈추는 경우
자주 묻는 질문
후보를 모두 확인해야 하나요?
남은 인수가 이차식이 되면 바로 풀면 되므로 그때 멈출 수 있습니다.
최고차 계수가 1이면 어떻게 되나요?
q = 1이므로 유리근은 모두 상수항을 나누는 정수입니다.
유리근이 중근일 수도 있나요?
네. 계산기는 그 근이 나오는 횟수만큼 나눕니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §5.5 Zeros of Polynomial Functions