홍라이프 계산기분모의 유리화 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 분수의 값을 바꾸지 않고 분모에서 근호를 없앱니다. 제곱근 하나, 두 항으로 된 분모 p + q√r, n제곱근 하나를 다루며, 결과를 간단히 하고 소수 값으로 검산합니다. 대수 과제와 교재가 요구하는 형태로 답을 쓸 때 씁니다.
계산 방법
- 제곱근 하나: a/(q√r) × √r/√r = a√r/(q·r)
- 두 항: 분자와 분모에 켤레 p − q√r을 곱합니다. (p + q√r)(p − q√r) = p² − q²r에는 근호가 없습니다.
- n제곱근: 완전 n제곱수를 만드는 근을 곱합니다. 예: 1/∛2 × ∛4/∛4 = ∛4/2
근호를 먼저 간단히 하고(√12 = 2√3), 마지막에 모든 정수의 공약수로 약분합니다. 1,000,000 이하의 정수를 입력할 수 있습니다.
원리
분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱해도 값은 변하지 않습니다. 요령은 분모를 정수로 만드는 수를 고르는 것입니다. 제곱근 하나는 √r × √r = r을 이용합니다. 합의 꼴은 합차 공식 (A + B)(A − B) = A² − B²로 근호를 제곱해 없앱니다. 더 높은 차수의 근은 근호 안의 지수를 n의 배수로 올립니다. 예전에는 손으로 나눗셈을 쉽게 하려고 썼고, 지금은 비교와 정리가 쉬운 표준 형태로 씁니다.
예제 풀이
기본값은 a = 6, 분모 3 + √5(p = 3, q = 1, r = 5)입니다.
- 켤레 3 − √5를 곱합니다. 6(3 − √5) ÷ ((3 + √5)(3 − √5))
- 분모: 3² − 1² × 5 = 9 − 5 = 4
- 분자: 18 − 6√5이므로 (18 − 6√5)/4입니다.
- 공약수 2로 약분하면 (9 − 3√5) / 2입니다.
- 소수 검산: (9 − 3 × 2.2360680) ÷ 2 ≈ 1.145898034로 6 ÷ (3 + 2.2360680)과 같습니다.
결과 해석
유리화한 형태는 원래 분수와 값이 같으며, 소수 값이 이를 확인해 줍니다. 분모가 정수이면 분수를 항별로 나누거나 다른 분수와 더하기 쉽습니다. 분자의 근호가 더 간단해질 수 있다면 계산기가 이미 처리한 것입니다. 손으로 푼 답과 모양이 달라 보이면 두 답의 소수 값을 비교해 보십시오. 값이 같으면 둘 다 맞고, 약분이 덜 된 쪽을 마저 정리하면 됩니다.
흔한 실수
- 분모에만 켤레를 곱하는 경우
- 켤레 p − q√r 대신 p + q√r을 다시 곱하는 경우
- 마지막에 공약수로 약분하지 않는 경우
- 세제곱근에 같은 세제곱근을 한 번만 곱하는 경우(분모가 ∛4가 되어 정수가 아닙니다)
자주 묻는 질문
왜 분모를 유리화하나요?
답을 하나의 표준 형태로 맞추고, 비교·덧셈·어림을 쉽게 하기 때문입니다.
유리화하면 값이 바뀌나요?
아닙니다. √5/√5처럼 1과 같은 수를 곱하는 것입니다.
켤레란 무엇인가요?
p + q√r에 대해 두 항 사이의 부호만 바꾼 p − q√r입니다.
출처: OpenStax, Intermediate Algebra 2e (2020), §8.5 Divide Radical Expressions