홍라이프 계산기선분의 내분점·외분점 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 A에서 B로 향하는 선분을 m : n으로 나누는 점 P를 내분(A와 B 사이) 또는 외분(선분 밖 직선 위)으로 구합니다. A에서 B까지 진행한 비율과 AP, PB의 길이도 보여 줍니다. 좌표기하, 해석기하 과제, 디자인 배치에 씁니다.
계산 방법
- 내분(AP : PB = m : n): P = ((n·x₁ + m·x₂)/(m + n), (n·y₁ + m·y₂)/(m + n))
- 같은 말로, P = A + (m/(m + n))·(B − A)이며 A에서 m/(m + n)만큼 간 점입니다.
- 외분: P = ((m·x₂ − n·x₁)/(m − n), (m·y₂ − n·y₁)/(m − n)), m ≠ n이어야 합니다.
- 길이는 거리 공식 √((Δx)² + (Δy)²)로 구합니다.
원리
직선 위를 움직이면 x와 y가 비례해서 변합니다. 전체 m + n 중 m만큼 갔다면 두 좌표 모두에서 m/(m + n) 위치에 있어야 합니다. 이를 풀어 쓰면 양 끝점의 가중평균이 되고, 각 끝점에는 반대편 구간의 크기만큼 가중치가 붙습니다. 그래서 x₂에 m을 곱합니다. 중점 공식은 m = n = 1인 특수한 경우입니다. 외분점은 선분 밖에 있으므로 한 구간이 반대 방향이 되어 m + n이 m − n으로 바뀝니다.
예제 풀이
기본값은 A(−2, 1), B(8, 6), 비 3 : 2, 내분입니다.
- A에서 진행한 비율: 3 ÷ (3 + 2) = 0.6
- x = (2 × (−2) + 3 × 8) ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4
- y = (2 × 1 + 3 × 6) ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4이므로 P = (4, 4)입니다.
- AP = √(6² + 3²) = √45 ≈ 6.7082
- PB = √(4² + 2²) = √20 ≈ 4.47214이고, 6.7082 : 4.47214 = 3 : 2입니다.
결과 해석
내분점 P는 항상 A와 B 사이에 있고, 비율은 얼마나 진행했는지를 알려 줍니다. AP와 PB의 비가 m : n과 같은지 보면 빠르게 검산할 수 있습니다. 외분점은 직선의 연장선 위에 있어 m > n이면 B 너머, m < n이면 A 뒤쪽에 있습니다. 삼각형의 무게중심은 중선을 꼭짓점 쪽에서 2 : 1로 내분하는 점이므로 같은 공식으로 구할 수 있습니다.
흔한 실수
- 가중치를 바꾸는 경우(x₁에는 n, x₂에는 m을 곱합니다)
- A에서 B인지 B에서 A인지 방향을 혼동하는 경우
- m : n을 m/(m + n)이 아니라 m/n으로 쓰는 경우
- m = n인데 외분을 구하는 경우(해가 없습니다)
자주 묻는 질문
중점 공식은 이 공식과 어떤 관계인가요?
m = n = 1이면 P = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)로 중점이 됩니다.
A에서 B까지 3분의 1 지점은 어떻게 구하나요?
비를 1 : 2로 넣으면 비율이 1/3이 됩니다.
왜 '방향이 있는' 선분이라고 하나요?
시작과 끝이 있어서 A에서 B로 나누는 것과 B에서 A로 나누는 것이 다르기 때문입니다.
출처: OpenStax, Algebra and Trigonometry, §2.1 (midpoint and distance formulas)