홍라이프 계산기레일리 분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 레일리 분포의 누적확률 P(X ≤ x), 꼬리확률, 확률밀도, 평균, 중앙값, 최빈값, 분산, 표준편차, 95백분위수를 구합니다. 풍속, 무작위 잡음이나 파도의 진폭, 무선 신호의 페이딩, 표적 주변 탄착의 거리 분석에 씁니다.
계산 방법
척도모수 σ > 0, x ≥ 0일 때 다음과 같습니다.
- 확률밀도: f(x) = (x ÷ σ²)·e^(−x²/(2σ²))
- 누적확률: P(X ≤ x) = 1 − e^(−x²/(2σ²))
- 평균 = σ√(π/2) ≈ 1.2533σ, 중앙값 = σ√(2 ln 2) ≈ 1.1774σ, 최빈값 = σ
- 분산 = (4 − π)σ² ÷ 2 ≈ 0.4292σ²
- 분위수 p: x = σ√(−2 ln(1 − p))
원리
X와 Y가 평균 0, 표준편차 σ로 같은 독립 정규확률변수라면 벡터 (X, Y)의 길이 R = √(X² + Y²)은 레일리 분포를 따릅니다. 그래서 크기가 비슷한 두 무작위 수직 성분으로 이루어진 양에 잘 맞습니다. 바람의 두 수평 성분, 잡음의 동상·직교 성분, 가로·세로 조준 오차가 그 예입니다. 정확히 중심에 맞을 가능성은 낮으므로 밀도는 0에서 0이고, x = σ에서 가장 높으며, 오른쪽으로 긴 꼬리가 있습니다.
예제 풀이
기본값은 σ = 2, x = 3입니다.
- x²/(2σ²) = 9 ÷ 8 = 1.125
- P(X ≤ 3) = 1 − e^(−1.125) ≈ 1 − 0.324652 = 0.675348
- 밀도: (3 ÷ 4) × 0.324652 ≈ 0.243489
- 평균 = 2 × √(π/2) ≈ 2.50663, 중앙값 ≈ 2.35482, 최빈값 = 2
- 분산 ≈ 1.71681, 표준편차 ≈ 1.31027, 95백분위수 = 2√(−2 ln 0.05) ≈ 4.89549
| x (0 이상) | P(X ≤ x) |
|---|---|
| 0.75 | 0.0678975 |
| 1.5 | 0.24516 |
| 2.25 | 0.468904 |
| 3 | 0.675348 |
| 3.75 | 0.827578 |
| 4.5 | 0.92044 |
| 6 | 0.988891 |
결과 해석
P(X ≤ x)는 x 이하인 값의 비율입니다. 여기서는 약 68%가 3 이하이고 32%가 더 큽니다. 분포가 오른쪽으로 치우쳐 있어 최빈값, 중앙값, 평균 순으로 커집니다. 95백분위수는 값의 5%만 넘는 수준이므로 계획을 세울 때 실용적인 상한으로 쓸 수 있습니다.
흔한 실수
- 분포의 표준편차를 σ로 넣는 경우(σ는 각 정규 성분의 척도이고, 레일리 분포의 표준편차는 약 0.655σ입니다)
- 두 성분의 퍼짐이 다르거나 평균이 0이 아닐 때 적용하는 경우(라이스 분포 등이 더 맞습니다)
- 음수 x를 넣는 경우
- 바람 자료를 확인 없이 레일리로 보는 경우(풍속에는 와이블 모형도 흔히 씁니다)
자주 묻는 질문
레일리 분포와 와이블 분포는 어떤 관계인가요?
형상모수가 2인 와이블 분포가 레일리 분포입니다.
자료에서 σ는 어떻게 추정하나요?
흔히 최대가능도 추정값 σ̂ = √(Σxᵢ² ÷ (2n))을 씁니다.
x = 0에서 밀도가 왜 0인가요?
길이가 정확히 0이려면 두 성분이 동시에 0이어야 하는데, 그럴 가능성이 매우 낮기 때문입니다.
출처: Weisstein, E. W., "Rayleigh Distribution", Wolfram MathWorld