정다각형 계산기

정다각형 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

정다각형은 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같은 다각형으로, 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 등이 있습니다. 변의 개수 n과 한 변의 길이 s만 알면 모양이 하나로 정해지므로, 이 계산기는 넓이, 둘레, 한 내각의 크기, 변심거리(중심에서 변까지의 거리), 외접원의 반지름(중심에서 꼭짓점까지의 거리), 대각선의 개수를 한꺼번에 구합니다. 타일과 보도블록, 볼트 머리, 정자, 표지판을 설계할 때 쓰입니다.

계산 방법

• 둘레: P = ns
• 한 내각: (n − 2) × 180° ÷ n
• 변심거리: a = s ÷ (2 tan(π/n))
• 외접원의 반지름: R = s ÷ (2 sin(π/n))
• 넓이: S = ns² ÷ (4 tan(π/n)) = ½ × P × a
• 대각선의 개수: n(n − 3) ÷ 2

길이는 s와 같은 단위, 넓이는 그 단위의 제곱입니다.

원리

중심과 각 꼭짓점을 이으면 정다각형은 밑변 s, 꼭지각 2π/n인 합동 이등변삼각형 n개로 나뉩니다. 이를 반으로 자르면 각 π/n의 대변이 s/2, 이웃변이 변심거리, 빗변이 외접원의 반지름인 직각삼각형이 됩니다. 따라서 tan(π/n) = (s/2)/a, sin(π/n) = (s/2)/R에서 두 반지름 공식이 나옵니다. 작은 삼각형 하나의 넓이가 ½ × s × a이고 n개가 있으므로 넓이는 ½ × ns × a입니다. 내각의 합은 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 n − 2개의 삼각형으로 나누면 얻습니다. 한 꼭짓점에서는 n − 3개의 대각선을 그을 수 있고 각 대각선이 두 번 세어지므로 개수는 n(n − 3)/2입니다.

예제 풀이

1. 입력값은 n = 6(정육각형), s = 4이고 π/6 = 30°입니다.
2. 둘레는 6 × 4 = 24입니다.
3. 한 내각은 4 × 180 ÷ 6 = 120°입니다.
4. 변심거리는 4 ÷ (2 tan 30°) ≈ 3.464101615(2√3)입니다.
5. 외접원의 반지름은 4 ÷ (2 sin 30°) = 4입니다.
6. 넓이는 ½ × 24 × 3.464102 ≈ 41.56921938(24√3), 대각선은 6 × 3 ÷ 2 = 9개입니다.

결과 해석

정육각형은 중심의 여섯 삼각형이 정삼각형이므로 외접원의 반지름이 한 변의 길이와 같습니다. n이 커질수록 정다각형은 원에 가까워져 변심거리와 외접원의 반지름이 거의 같아지고 넓이는 πR²에 다가갑니다. 한 종류만으로 평면을 빈틈없이 채우는 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형뿐입니다.

흔한 실수

• 한 변의 길이 대신 마주 보는 변 사이의 거리(2a)나 꼭짓점 사이의 거리(2R)를 넣는 경우입니다.
• 계산기가 라디안 모드인데 도 단위로 tan, sin을 계산하는 경우입니다.
• 변이나 각이 서로 다른 다각형에 이 공식을 쓰는 경우입니다.

자주 묻는 질문

다각형 내각의 합은 얼마인가요?

정다각형이 아니어도 (n − 2) × 180°입니다. 오각형은 540°입니다.

정다각형의 한 외각은요?

360° ÷ n이며, 180°에서 한 내각을 뺀 값과 같습니다. 정육각형은 60°입니다.

외접원의 반지름으로 한 변의 길이를 구하려면요?

s = 2R sin(π/n)입니다. 반지름 10인 원에 내접하는 정오각형은 s ≈ 11.76입니다.

출처: Euclid, Elements, Book IV (inscribing and circumscribing regular polygons) · H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Dover