홍라이프 계산기분수를 순환소수로 바꾸기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
분수를 나눗셈으로 끝까지 계산해 소수로 나타내고, 되풀이되는 부분을 괄호로 표시해 주는 계산입니다. 1/7을 반올림한 0.142857142857 대신 0.(142857)로 보여 주며, 되풀이되는 숫자 묶음인 순환마디의 길이도 알려 줍니다. 유리수와 순환소수를 공부할 때, 계산기 화면에 나온 값을 확인할 때, 수의 규칙을 탐구할 때 유용합니다.
계산 방법
- a ÷ b의 몫으로 자연수 부분을 구합니다.
- 나머지 r에 10을 곱해 b로 나누고, 그 몫을 다음 자리 숫자로, 나머지를 새로운 r로 삼는 과정을 되풀이합니다.
- 나머지가 몇 번째 자리에서 나왔는지 기록합니다. 나머지가 0이 되면 유한소수로 끝납니다.
- 이미 나온 나머지가 다시 나오면, 처음 나왔던 자리부터 지금까지의 숫자가 순환마디이며 괄호로 묶어 표시합니다.
소수점 아래 200자리까지만 계산하므로 순환마디가 매우 길면 잘립니다.
원리
b로 나누면 나머지는 0, 1, …, b − 1 중 하나뿐입니다. 0이 아닌 나머지는 최대 b − 1가지이므로 언젠가는 같은 나머지가 반드시 다시 나오고(비둘기집 원리), 그때부터는 같은 숫자가 같은 순서로 끝없이 반복됩니다. 그래서 모든 분수는 유한소수 아니면 순환소수가 되고, 순환마디의 길이는 b − 1을 넘지 않습니다. 1/7은 그 최댓값인 6자리를 채운 경우입니다. 분모에 2와 5가 없으면, 순환마디 길이는 10^k − 1이 분모로 나누어떨어지는 가장 작은 k와 같습니다.
예제 풀이
- 입력값: 분자 1, 분모 7입니다. 자연수 부분은 0, 나머지는 1입니다.
- 10 ÷ 7 = 1 … 3, 30 ÷ 7 = 4 … 2, 20 ÷ 7 = 2 … 6입니다.
- 60 ÷ 7 = 8 … 4, 40 ÷ 7 = 5 … 5, 50 ÷ 7 = 7 … 1입니다.
- 처음의 나머지 1이 다시 나왔으므로 142857이 반복됩니다.
- 결과는 0.(142857), 순환마디 길이는 6입니다.
결과 해석
괄호 밖의 숫자는 한 번만 나오고, 괄호 안의 숫자는 끝없이 반복됩니다. 예를 들어 1/6은 0.1(6)로 표시되며, 1은 한 번, 6은 계속 반복된다는 뜻입니다. 순환마디 길이가 0이면 유한소수이며, 이는 기약분수의 분모가 2와 5 이외의 소인수를 갖지 않을 때입니다.
흔한 실수
- 계산기에 표시된 0.1428571429 같은 반올림 값을 정확한 값으로 여깁니다.
- 나머지가 반복되기 전에 나눗셈을 멈추고 규칙을 짐작합니다.
- 순환마디 길이가 항상 b − 1이라고 생각합니다. 1/3은 1자리, 1/13은 6자리입니다.
자주 묻는 질문
1/7과 2/7은 왜 같은 숫자들이 순서만 바뀌어 나오나요?
같은 나머지의 고리를 다른 지점에서 출발해 도는 것이므로 142857과 285714처럼 같은 여섯 숫자가 돌려진 모양으로 나옵니다.
분모가 b일 때 순환마디는 최대 몇 자리인가요?
최대 b − 1자리입니다. 7, 17, 19, 23처럼 이 최댓값을 채우는 소수는 영어로 full reptend prime이라고 부릅니다.
순환소수는 손으로 어떻게 표기하나요?
우리나라 교과서에서는 순환마디의 처음과 끝 숫자 위에 점을 찍어 나타냅니다. 이 계산기는 괄호를 사용합니다.
출처: G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Chapter 9(소수와 순환마디)