직각삼각형·피타고라스 정리 계산기

직각삼각형과 피타고라스 정리 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

직각을 끼고 있는 두 변(밑변과 높이)을 입력하면 이 계산기가 빗변, 두 예각, 넓이, 직각에서 빗변까지의 높이를 구해 줍니다. 사다리와 경사로의 길이, 지붕 경사, 화면의 대각선, 좌표 위의 두 점 사이 거리, 틀이 직각으로 맞았는지 확인할 때 쓰는 기본 도구입니다.

계산 방법

• 빗변(피타고라스 정리): c = √(a² + b²)
• 각: A = arctan(a ÷ b)는 변 a의 맞은편 각이고, B = arctan(b ÷ a) = 90° − A입니다.
• 넓이: a × b ÷ 2
• 빗변에 대한 높이: h = a × b ÷ c

두 변은 같은 단위로 입력합니다. c와 h는 같은 단위, 넓이는 그 단위의 제곱, 각은 도(°)로 나옵니다.

원리

한 변이 a + b인 정사각형 안에 같은 직각삼각형 네 개를 빗변이 안쪽으로 오도록 놓으면, 가운데에 한 변이 c인 기울어진 정사각형이 생깁니다. 큰 정사각형의 넓이 (a + b)²은 삼각형 네 개의 넓이 2ab와 안쪽 정사각형 c²의 합이므로 a² + 2ab + b² = 2ab + c², 곧 a² + b² = c²입니다. 각은 탄젠트(대변 ÷ 이웃변)로 구합니다. 높이 공식은 넓이를 두 가지로 계산한 ½ab = ½ch에서 나옵니다.

예제 풀이

1. 기본 입력값은 a = 3, b = 4입니다.
2. 빗변 c = √(9 + 16) = √25 = 5입니다.
3. A = arctan(3 ÷ 4) = 36.86989765°, B = arctan(4 ÷ 3) = 53.13010235°이고 두 각의 합은 90°입니다.
4. 넓이는 3 × 4 ÷ 2 = 6입니다.
5. 빗변에 대한 높이는 12 ÷ 5 = 2.4입니다.

결과 해석

빗변은 언제나 가장 긴 변이지만 a + b보다는 짧습니다. 두 변이 같으면 두 각이 45°이고 c = a√2 ≈ 1.414a입니다. 경사로에서는 높이의 맞은편 각이 경사각이며, 1 : 12 경사로(높이 1, 수평 12)는 약 4.76°입니다. 빗변에 대한 높이는 직각인 꼭짓점에서 빗변까지의 최단 거리입니다.

흔한 실수

• 빗변을 직각을 낀 변으로 입력하는 경우입니다. 이 계산기는 짧은 두 변을 입력받습니다.
• 직각이 아닌 삼각형에 a² + b² = c²을 쓰는 실수입니다. 이때는 코사인법칙을 씁니다.
• 제곱근을 빼먹고 c² = 25를 길이로 쓰는 실수입니다.
• 경사도 %와 각도를 혼동하는 경우입니다. 경사 100%는 90°가 아니라 45°입니다.

자주 묻는 질문

빗변과 한 변을 알 때 나머지 변은 어떻게 구하나요?

b = √(c² − a²)입니다. c = 13, a = 5이면 b = √144 = 12입니다.

TV 화면의 대각선은 어떻게 계산하나요?

가로와 세로가 두 변입니다. 가로 120 cm인 16:9 화면은 세로가 약 67.5 cm이므로 대각선은 약 137.7 cm입니다.

3차원에서도 성립하나요?

네. 직육면체의 대각선 길이는 √(a² + b² + c²)입니다.

출처: Heath, T. L. (trans.), The Thirteen Books of Euclid's Elements, Book I, Proposition 47 · 교육부, 2022 개정 수학과 교육과정(중학교 수학: 피타고라스 정리)