홍라이프 계산기점의 회전 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 점 (x, y)를 원점이나 원하는 중심을 기준으로 시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 원하는 각만큼 회전합니다. 새 좌표, 중심까지의 거리(변하지 않음), 같은 회전의 시계 반대 방향 각, 사용한 코사인과 사인 값을 보여 줍니다. 좌표기하, 도형의 이동 과제, 컴퓨터 그래픽, CAD, 로봇공학에 씁니다.
계산 방법
중심 (a, b)를 기준으로 시계 반대 방향 θ 회전은 다음과 같습니다.
x′ = a + (x − a)·cos θ − (y − b)·sin θ
y′ = b + (x − a)·sin θ + (y − b)·cos θ
- 원점 기준이면 a = b = 0입니다.
- 시계 방향 θ 회전은 시계 반대 방향 −θ 회전과 같습니다.
- 90°의 배수는 정확한 코사인·사인 값을 써서 반올림 찌꺼기가 생기지 않습니다.
원리
회전행렬 [cos θ −sin θ; sin θ cos θ]는 x축 방향 (1, 0)을 (cos θ, sin θ)로, y축 방향 (0, 1)을 (−sin θ, cos θ)로 보냅니다. 다른 모든 점은 이 두 방향의 결합이므로 같은 방식으로 회전합니다. 다른 중심을 기준으로 돌릴 때는 중심을 원점으로 옮기고, 회전한 뒤, 다시 옮겨 놓습니다. 회전은 강체 운동이어서 거리와 각을 보존하므로 점은 중심 주위의 같은 원 위에 남습니다.
예제 풀이
기본값은 점 (5, 2), θ = 90°, 시계 반대 방향, 중심 (1, 1)입니다.
- 중심이 원점이 되도록 옮기면 (5 − 1, 2 − 1) = (4, 1)입니다.
- cos 90° = 0, sin 90° = 1입니다.
- 회전하면 (4 × 0 − 1 × 1, 4 × 1 + 1 × 0) = (−1, 4)입니다.
- 다시 옮기면 (−1 + 1, 4 + 1) = (0, 5)입니다.
- 중심까지의 거리는 회전 전후 모두 √(4² + 1²) = √17 ≈ 4.12311입니다.
결과 해석
새 좌표가 점이 옮겨 간 위치입니다. 중심까지의 거리가 전후로 같은지 보면 빠르게 검산할 수 있습니다. 원점 기준 시계 반대 방향으로 90°는 (x, y)를 (−y, x)로, 180°는 (−x, −y)로, 270°는 (y, −x)로 보냅니다. 도형 전체를 돌릴 때는 꼭짓점마다 이 규칙을 적용하고 같은 순서로 이으면 됩니다.
흔한 실수
- 다른 점을 기준으로 돌리라는 문제에서 원점 기준으로 돌리는 경우
- 시계 방향과 반대 방향을 혼동하는 경우(수학에서 양의 각은 시계 반대 방향입니다)
- 도 단위 칸에 라디안을 넣는 경우
- y가 아래로 커지는 화면 좌표에서 눈에 보이는 방향이 반대가 된다는 점을 놓치는 경우
자주 묻는 질문
원점을 중심으로 90° 회전하는 규칙은 무엇인가요?
시계 반대 방향이면 (x, y) → (−y, x), 시계 방향이면 (x, y) → (y, −x)입니다.
회전하면 도형의 모양이 바뀌나요?
아닙니다. 모든 꼭짓점을 돌리면 길이와 각이 그대로 유지됩니다.
시계 방향 270°는 무엇과 같나요?
시계 반대 방향 90° 회전과 같습니다.
출처: OpenStax, Precalculus 2e (2021), §10.4 Rotation of Axes