홍라이프 계산기스칼라 삼중곱 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
스칼라 삼중곱 a · (b × c)는 세 3차원 벡터를 하나의 수로 묶습니다. 그 절댓값은 a, b, c를 모서리로 하는 평행육면체의 부피이고, 부호는 세 벡터가 오른손계인지 왼손계인지를 알려 줍니다. 이 계산기는 삼중곱, 평행육면체 부피, 같은 세 모서리를 갖는 사면체의 부피, 그리고 세 벡터가 한 평면 위에 있는지를 알려 줍니다. 공간도형, 물리, 결정학의 단위세포 부피 계산, 3D 그래픽에서 쓰입니다.
계산 방법
- a · (b × c)는 a, b, c를 행으로 하는 3×3 행렬의 행렬식과 같습니다.
- det = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − a₂(b₁c₃ − b₃c₁) + a₃(b₁c₂ − b₂c₁)
- 평행육면체 부피 = |a · (b × c)|
- 사면체 부피 = |a · (b × c)| ÷ 6
- 삼중곱이 0(오차 10⁻¹² 이내)이면 한 평면 위에 있습니다.
원리
b × c는 b와 c가 만드는 밑면(평행사변형)에 수직이고, 크기는 밑면의 넓이와 같습니다. 여기에 a를 내적하면 밑면 넓이에 a의 법선 방향 성분, 즉 높이를 곱하게 됩니다. 밑넓이 × 높이가 곧 부피입니다. a가 b, c와 같은 평면에 있으면 높이가 0이므로 부피와 삼중곱이 모두 0입니다. 같은 세 모서리로 만든 사면체는 평행육면체의 정확히 6분의 1입니다. 순환 순서로 바꾸면 값이 같고, 두 벡터를 맞바꾸면 부호가 바뀝니다.
예제 풀이
- 기본 입력값은 a = (1, 0, 0), b = (0, 2, 0), c = (1, 1, 3)입니다.
- b × c = (2·3 − 0·1, 0·1 − 0·3, 0·1 − 2·1) = (6, 0, −2)입니다.
- a · (b × c) = 1·6 + 0·0 + 0·(−2) = 6입니다.
- 평행육면체 부피는 |6| = 6입니다.
- 사면체 부피는 6 ÷ 6 = 1입니다.
- 삼중곱이 0이 아니므로 한 평면 위에 있지 않습니다(no).
결과 해석
값이 양수이면 a, b, c가 x, y, z축처럼 오른손계를 이루고, 음수이면 왼손계입니다. 부피의 단위는 성분에 쓴 길이 단위의 세제곱입니다. 결과가 0이면 세 벡터가 한 평면 위에 있어 행렬 [a; b; c]가 특이행렬이 되고, 벡터들이 일차종속이라는 뜻입니다. 예제에서 밑면 넓이는 |b × c| = √40 ≈ 6.32이고 높이는 6 ÷ √40 ≈ 0.949입니다.
흔한 실수
- (a · b) × c처럼 내적을 먼저 하는 경우입니다. 이 식은 정의되지 않으며, 외적을 먼저 계산해야 합니다.
- 부피를 구하면서 절댓값을 빼먹는 경우입니다.
- 한 꼭짓점을 공유하지 않는 모서리로 사면체 공식을 쓰는 경우입니다.
자주 묻는 질문
네 꼭짓점으로 사면체 부피를 구하려면 어떻게 하나요?
한 꼭짓점 P를 기준으로 a = Q − P, b = R − P, c = S − P를 만든 뒤 |a · (b × c)| ÷ 6을 계산합니다.
벡터의 순서가 중요한가요?
부호에만 영향을 줍니다. 순환 순서는 값이 같고, 두 벡터를 맞바꾸면 부호가 바뀝니다.
상자곱(box product)과 같은 것인가요?
네. [a, b, c]도 스칼라 삼중곱을 나타내는 흔한 표기입니다.
출처: Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, chapter on determinants (volume interpretation) · James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, section on the cross product (triple products)