홍라이프 계산기등차수열·등비수열 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
수열은 일정한 규칙에 따라 나열한 수의 열입니다. 등차수열은 각 항에 같은 수(공차 d)를 더해 가고, 등비수열은 같은 수(공비 r)를 곱해 갑니다. 이 계산기는 제n항, 첫째항부터 제n항까지의 합, 무한등비급수의 합(수렴할 때)을 구하고 앞의 항들을 보여 줍니다. 등차수열은 매달 같은 금액을 저축하는 것처럼 일정하게 늘어나는 상황을, 등비수열은 일정한 비율로 늘거나 줄어드는 상황을 나타냅니다.
계산 방법
- 등차수열의 일반항: aₙ = a₁ + (n − 1)d입니다.
- 등차수열의 합: Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2 = n(a₁ + aₙ) ÷ 2입니다.
- 등비수열의 일반항: aₙ = a₁rⁿ⁻¹입니다.
- 등비수열의 합: r ≠ 1이면 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r), r = 1이면 Sₙ = na₁입니다.
- 무한등비급수의 합: |r| < 1일 때만 S = a₁ ÷ (1 − r)입니다.
입력 칸 하나에 등차수열이면 공차, 등비수열이면 공비를 넣으며, 앞의 여덟 항까지 표시됩니다.
원리
첫째항에서 제n항까지는 n − 1번 이동하므로 두 일반항 공식 모두에 n − 1이 들어갑니다. 등차수열의 합은 항을 앞에서부터, 뒤에서부터 나란히 써서 짝지어 더하면 됩니다. 각 짝의 합은 모두 a₁ + aₙ이고 짝이 n개이며 이것이 합의 2배이므로 Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2입니다. 등비수열의 합은 Sₙ에 r을 곱해 원래 식에서 빼면 대부분의 항이 지워지고 Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ)만 남습니다. |r| < 1이면 n이 커질수록 rⁿ이 0에 가까워지므로 합은 a₁ ÷ (1 − r)에 수렴합니다.
예제 풀이
- 입력값: a₁ = 3, 공차 d = 2, n = 10, 종류는 등차수열입니다.
- 제10항: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 2 = 3 + 18 = 21입니다.
- 합: S₁₀ = 10 × (2 × 3 + 9 × 2) ÷ 2 = 10 × 24 ÷ 2 = 120입니다.
- 무한합은 |r| < 1인 등비수열에만 해당하므로 —로 표시됩니다.
- 앞의 항: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17입니다.
| 항 번호 n | 제n항 |
|---|---|
| 2.5 | 6 |
| 5 | 11 |
| 7.5 | 16 |
| 10 | 21 |
| 12.5 | 26 |
| 15 | 31 |
| 20 | 41 |
결과 해석
등차수열은 직선처럼 일정하게 커지고 그 합은 n²에 비례해 커집니다. 공비가 1보다 큰 등비수열은 지수적으로 커져 곧 어떤 등차수열도 앞지릅니다. 같은 입력에서 종류만 등비수열로 바꾸면 제10항은 3 × 2⁹ = 1,536, 합은 3,069가 됩니다. 공비가 0과 1 사이이면 점점 줄어들고, 음수이면 항의 부호가 번갈아 바뀝니다.
흔한 실수
- 일반항에 n − 1 대신 n을 써서 한 항 뒤의 값을 구하는 경우입니다.
- 증가율을 공비로 그대로 넣는 경우입니다. 5% 증가는 r = 1.05이며 5나 0.05가 아닙니다.
- |r| ≥ 1인데 무한등비급수 공식을 쓰는 경우입니다. 이때 급수는 발산합니다.
- 항의 개수와 마지막 항의 값을 혼동하는 경우입니다.
자주 묻는 질문
두 항으로 공차나 공비를 구하려면 어떻게 하나요?
등차수열은 d = (aₘ − aₖ) ÷ (m − k)이고, 등비수열은 aₘ ÷ aₖ의 (m − k)제곱근이 r입니다.
1 + 1/2 + 1/4 + …를 끝없이 더하면 얼마인가요?
a₁ = 1, r = 1/2인 무한등비급수이므로 1 ÷ (1 − 1/2) = 2입니다.
피보나치수열은 등차수열인가요, 등비수열인가요?
둘 다 아닙니다. 앞의 두 항을 더해 다음 항을 만들며, 이웃한 항의 비가 약 1.618에 가까워집니다.
출처: Euclid, Elements, Book IX, Proposition 35 · James Stewart, Calculus, Chapter 11 (Infinite Sequences and Series)