홍라이프 계산기신발끈 공식 다각형 넓이 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
신발끈 공식(가우스의 넓이 공식, 측량사 공식)은 꼭짓점의 좌표만으로 다각형의 넓이를 구하는 방법입니다. 삼각형으로 직접 나눌 필요 없이 경계를 따라 차례대로 꼭짓점을 입력하면 넓이, 둘레, 무게중심, 꼭짓점을 입력한 방향을 알려 줍니다. 측량 좌표로 토지 면적을 구할 때, 평면도, 지도와 GIS, 컴퓨터 그래픽에서 널리 쓰입니다.
계산 방법
꼭짓점 (x₁, y₁), …, (xₙ, yₙ)에서 마지막 점 다음은 첫 점으로 돌아온다고 봅니다.
- 부호 있는 넓이의 두 배: S = Σ (xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)
- 넓이: |S| ÷ 2
- 둘레: 이웃한 꼭짓점 사이의 거리를 마지막 변까지 모두 더한 값
- 무게중심: Cx = Σ (xᵢ + xᵢ₊₁)(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ) ÷ (3S), Cy도 y로 같은 방식
- 방향: S > 0이면 시계 반대 방향, S < 0이면 시계 방향
원리
각 항 xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ는 원점과 변 하나로 만든 삼각형의 넓이(부호 포함)의 두 배입니다. 다각형을 한 바퀴 돌면 바깥쪽 삼각형은 더해지고 안쪽 삼각형은 빼져서 다각형 밖의 부분은 모두 지워지고 둘러싸인 넓이만 남습니다. 부호는 도는 방향을 나타내므로 절댓값을 취합니다. 좌표를 두 줄로 적고 엇갈려 곱하는 모양이 신발끈을 묶는 모습과 닮아 이런 이름이 붙었습니다.
예제 풀이
- 입력값은 (0, 0), (4, 0), (4, 3), (0, 3)으로 가로 4, 세로 3인 직사각형입니다.
- 각 항은 0, 4×3 − 4×0 = 12, 4×3 − 0×3 = 12, 0이므로 S = 24입니다.
- 넓이는 24 ÷ 2 = 12입니다.
- 둘레는 4 + 3 + 4 + 3 = 14입니다.
- Cx = (8×12 + 4×12) ÷ 72 = 2, Cy = (3×12 + 6×12) ÷ 72 = 1.5이므로 무게중심은 (2, 1.5)입니다.
- S가 양수이므로 시계 반대 방향입니다.
결과 해석
무게중심은 도형을 판으로 오렸을 때 균형이 잡히는 점으로, 직사각형은 정중앙입니다. S가 음수라면 시계 방향으로 입력했다는 뜻일 뿐 넓이는 같습니다. y축이 아래로 향하는 화면 좌표에서는 방향이 반대로 표시됩니다.
흔한 실수
- 꼭짓점을 경계 순서대로 넣지 않아 변이 교차하는 경우입니다.
- 8자 모양처럼 스스로 교차하는 도형을 넣는 경우입니다. 부분 넓이가 서로 상쇄됩니다.
- 위도·경도(도)를 그대로 넣는 경우입니다. 평면 좌표(m)로 바꾼 뒤 계산하십시오.
자주 묻는 질문
어느 꼭짓점부터 입력해도 되나요?
네. 경계 순서만 지키면 시작점과 관계없이 넓이가 같습니다.
구멍이 있는 다각형은요?
바깥 경계와 구멍을 따로 계산한 뒤 구멍의 넓이를 빼면 됩니다.
첫 점을 마지막에 다시 적어도 되나요?
넓이에는 영향이 없습니다. 다만 꼭짓점을 하나라도 빠뜨리면 결과가 달라집니다.
출처: B. Braden, The Surveyor’s Area Formula, The College Mathematics Journal 17(4), 1986, 326–337 · J. O’Rourke, Computational Geometry in C, 2nd ed., Cambridge University Press (polygon area and centroid)